Estados propios del operador de creación

Bueno, aquí hay una respuesta formal de "alondra" en el asiento de los pantalones, yendo a espacios y lugares de Fock "amañados" en los que usted (o cualquier otra persona) realmente no debería estar; excepto que es posible que ya haya estado allí , cuando aprendió sobre sujetadores y kets, si miró en el libro QM de Dirac: misteriosamente, ¡la sección que prácticamente todos los textos modernos omiten!

Cubriré su pregunta sobre el espacio de Fock, pero principalmente como una introducción a la sublime imagen de Dirac que merece exposición. En este sentido, esta respuesta formal informal es excepcionalmente indulgente.

De hecho, para estados coherentes,

$$|\alpha\rangle= e^{-|\alpha|^2/2 } e^{\alpha a^\dagger}|0\rangle ,$$ dónde$a|0\rangle =0$y$[a,a^\dagger]=1$, encuentras que$a|\alpha\rangle=\alpha | \alpha\rangle$. La relación adjunta/dual en su (1) no es más que esto, por lo que realmente no le dicen algo nuevo , y no son los estados propios "izquierdos" de$a^\dagger$en cualquier sentido significativo, excepto el trivial. Solo estás viendo los mismos estados en el espacio dual.

Las pruebas estrictas de preguntas vinculadas excluyendo estados propios de$a^\dagger$sin embargo, tienen una escapatoria formal inestable. El estado anormal (no normalizable)

$$|\psi\rangle=\delta(a^\dagger - \beta ~ \mathbb{I}) |0\rangle =\frac{1}{2\pi} \int \!\! dk ~e^{ik(a^\dagger -\beta)} |0\rangle \\ =\frac{1}{2\pi}\int\!\! dk~\exp(-ik\beta) \left (|0\rangle+ ik |1\rangle + ... +(ik)^n/\sqrt{n!}|n\rangle +...\right ) \\ = \delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \delta(\beta)\over \sqrt{n!}}|n\rangle+...$$ satisface formalmente $$a^\dagger | \psi\rangle=\beta| \psi\rangle,$$ y es el estado propio derecho buscado de$a^\dagger$, entonces, si crea/agrega una excitación, de hecho no cambia, según su (2).

Es esencialmente una superposición formal continua de una infinidad de estados coherentes inclinados, análoga a la de Dirac.$|x\rangle$, que es de donde vino, por supuesto; vea abajo.

No sé si estos estados han entrado realmente de alguna manera técnica retorcida en la óptica cuántica como herramienta, pero, francamente, doy por terminada esta parte de la discusión, considerándola como el punto de partida para la hermosa teoría de los kets de Dirac, que él detalla en su libro QM clásico (4ª ed.), Ch III §20 & Ch IV §22, §23.

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La mayoría de las maniobras formales que hemos visto hasta ahora se mapean algebraicamente en una popular analogía suelta en las entidades y operadores de soporte de Dirac estándar,

$$a^\dagger \rightsquigarrow \hat x , \qquad a \rightsquigarrow \hat p , \qquad [a^\dagger,a]=1 \rightsquigarrow [\hat x , \hat p]= i\hbar.$$

Olvidémonos de creadores y aniquiladores, si te confunden, y comencemos con el ket estándar de Dirac ,

$$\rangle\equiv \sqrt{2\pi\hbar } |\varpi\rangle.$$ Introduzco mi propia notación sobre la rhs para mitigar el choque cultural que ha alienado a generaciones: lo que quiero decir con esto es el vacío traduccionalmente invariable estándar, un vector x infinito con el mismo componente constante en cada entrada, de modo que una traducción lo deja invariante. (Como ya conoce el final de esta notación, resultará ser$\lim_{p\to 0} |p\rangle\equiv |\varpi\rangle$. No usaré 0 en lugar de$\varpi$, como quiero recordarles, es un estado propio p y no un estado propio x. Entonces, en esta imagen,$\hat p$s son aniquiladores y$\hat x$s creadores.)

Es así el análogo del vacío de estado coherente, el estado nulo de de$\hat p$,

$$\bbox[yellow,5px]{ \hat p |\varpi\rangle = 0}.$$

Dirac luego define

$$\bbox[yellow,5px]{ |x\rangle = \delta(\hat x -x)|\varpi \rangle \sqrt{2\pi \hbar}},$$ y $$\bbox[yellow,5px]{ |p\rangle = e^{ip\hat x /\hbar} | \varpi \rangle},$$ un estado de impulso cero trasladado por impulso,$e^{p \partial_{\varpi}} | \varpi \rangle$, el análogo del estado coherente!

Comprueba que, por tanto,

$$\langle x | p\rangle = \sqrt{2\pi \hbar} \langle \varpi | \delta (\hat x - x ) e^{ip\hat x /\hbar} |\varpi\rangle =e^{ip x /\hbar} \langle x |\varpi\rangle = e^{ip x /\hbar} /\sqrt{2\pi \hbar},$$ dado que la proyección de todos los autoestados x en el ket estándar es la misma, y $$\hat p |p\rangle = \hat p e^{ip\hat x /\hbar}|\varpi\rangle = p|p\rangle , \qquad \hat x |x\rangle = \hat x \delta(\hat x -x)|\varpi \rangle \sqrt{2\pi \hbar}=x |x\rangle,$$ las propiedades con las que comienzan la mayoría de los libros de texto de QM.

(Pero, para mi sorpresa cuando aprendí esto por primera vez, Dirac evidentemente entendió la estructura de los estados coherentes mucho antes de su creación oficial...)

Si debe tener una imagen mental de estos vectores de dimensión infinita en la base x , el$|x\rangle$el vector solo tiene una entrada distinta de cero en la ranura x=n , por lo que es terminalmente nítido; pero el$|\varpi \rangle$el vector es terminalmente amplio y tiene, digamos, 1 en cada entrada individual, debidamente normalizado por la normalización continua de estos monstruos; y el$|p\rangle$El vector es tan amplio y tiene entradas alrededor de la ranura 0 que van como$...,e^{-2ip}, e^{-ip}, 1,e^{ip},e^{2ip},e^{3ip},...$. Los aficionados a la transformada finita de Fourier los reconocerán como vectores amados.

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Complemento NB que aborda la prueba de no-go

A través de la orgía de distribuciones involucradas, uno puede ver la escapatoria estrictamente formal de la prueba de no-go,

$$a^\dagger \left (\delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \over \sqrt{n!}}\delta(\beta)|n\rangle+... \right ) \\ = \beta \left ( \delta(\beta)|0\rangle -\partial_\beta \delta (\beta)|1\rangle +...+{(-\partial_\beta )^n \over \sqrt{n!}}\delta(\beta)|n\rangle+...\right ).$$ Tenga en cuenta el "inconveniente"$|0\rangle$término de la derecha desaparece en virtud de$\beta \delta(\beta)=0$, el segundo término$-\beta \partial_\beta \delta(\beta) = \delta (\beta)$, etc. Hiperformal sin duda, pero las distribuciones valoradas por el operador son el elemento vital de QFT, y la tarea de "limpiar" el paisaje emprendida por QFT axiomático aún no está completa... En QM, la gente espera algunos trucos de manipulación arreglará todo, pero no soy muy bueno en eso.

¿Sería correcto decir que$\langle\alpha\vert$es (izquierda) vector propio de$\hat{a}^\dagger$? ¿Podemos usar este formalismo y tiene algún significado (físico)?

Hmmm... No estoy familiarizado con una interpretación física específica de eso. Sin embargo, tenga en cuenta que si$u$es un vector propio izquierdo de$A$, es decir $uA=\alpha u$, luego tomando la transpuesta + el conjugado hermitiano da

$$A^\dagger u^\dagger=\left(uA\right)^\dagger=\left(\alpha u\right)^\dagger=\alpha^\ast u^\dagger$$

Ahora denota$B\equiv A^\dagger$,$v\equiv u^\dagger$y$\lambda=\alpha^\ast$entonces

$$Bv=\lambda v$$

Esto significa que estudiar los vectores propios izquierdos es equivalente a estudiar los vectores propios derechos. No hay nada especial con la elección del lado.

En vista de lo anterior, diría que el argumento ingenuo que se suele encontrar: "un estado coherente se parece a un estado clásico porque si aniquilas las excitaciones no cambia", es bastante erróneo. De hecho, lo contrario también debería ser cierto, lo cual es solo el caso si$\vert\alpha\rangle$es estado propio de$\hat{a}^\dagger$también.

Tampoco me gusta este argumento. Las semejanzas de los estados coherentes con los estados clásicos es consecuencia de su dinámica, que es el resultado del hamiltoniano.

La primera pregunta ya se ha cubierto en otras respuestas, pero la recapitulo para completar:$a^\dagger$no tiene vectores propios derechos , pero tiene vectores propios izquierdos ,

$$\langle\alpha | = |\alpha\rangle^\dagger = e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(\alpha^*)^n}{\sqrt{n!}}\langle n|,$$ precisamente, como se sugiere en la pregunta. Este hecho se usa rutinariamente en la derivación de la formulación de la integral de trayectoria en términos de estados coherentes. Esta es realmente una pregunta de tarea.

Con respecto a la segunda pregunta: la afirmación sobre la similitud de los estados coherentes con los estados clásicos generalmente se hace en el contexto de la cuantificación de campos electromagnéticos, con los operadores de campo representados por, por ejemplo,

$$\hat{E}(x,t) =\lambda e^{-ikx}a^\dagger(t) + \lambda e^{ikx}a(t).$$ Con la evolución de los operadores de creación y aniquilación dada por el hamiltoniano imperturbable,$a(t)=ae^{_i\omega t}, a^\dagger(t)=a^\dagger e^{i\omega t}$, promediando sobre los estados coherentes da como resultado $$\langle \alpha | \hat{E}(x,t)|\alpha\rangle = \lambda e^{-ikx+i\omega t}\alpha^* + \lambda e^{ikx-i\omega t}\alpha = E_0\cos(kx-\omega t+\phi),$$ es decir, la expresión clásica para la intensidad del campo eléctrico. Por otro lado, el número dice,$|n\rangle$no tienen una correspondencia clásica directa: los valores de los campos electromagnéticos en estos estados no están definidos. Esta correspondencia con el campo electromagnético coherente es la razón de denominar coherentes a estos estados .