¿Por qué las partículas de igual masa (con una en reposo) que sufren colisiones elásticas se dispersan solo en ángulo recto?

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¿Por qué las partículas de igual masa (con una en reposo) que sufren colisiones elásticas se dispersan solo en ángulo recto?

usuario279043

Esto es de la Sección 9.6, página 351 de "Dinámica clásica de partículas y sistemas" de Thornton y Marion.

Al establecer un sistema donde la masa 1 tiene un impulso inicial $m_1 u_1$ y la masa 2 está en reposo.

si dejamos

$\psi$ sea la dispersión del ángulo de la partícula 1 desde la línea que conecta $m_1$ y $m_2$ antes del contacto en el marco de referencia del laboratorio
$\xi$ es el ángulo de dispersión de la partícula 2 desde la misma línea de referencia que la anterior en el marco de referencia Lab
$V$ sea la velocidad del centro de masa en el marco de referencia Lab
$v_1$ , $v_2$ sea la velocidad final de las partículas 1 y 2 respectivamente en el marco de referencia Lab
$u_1'$ , $u_2'$ ser las velocidades iniciales en el marco de referencia del centro de masa
$v_1'$ , $v_2'$ ser las velocidades finales en el marco de referencia del centro de masa
$\theta$ sea el ángulo de dispersión de la partícula 1 en el marco de referencia del centro de masa

Entonces del hecho de que:

La conservación de la cantidad de movimiento y la energía cinética implica $u_1'=v_1'$ y $u_2'=v_2'$
$u_1 = u_1' + u_2'$ es la velocidad relativa de las dos partículas antes de la colisión, que son las mismas en ambos marcos
$u_2' = V$ ya que vectorialmente, los vectores tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas
$u_2 = 0$ ya que la segunda partícula está en reposo en el marco de referencia Lab

Mediante manipulaciones algebraicas podemos escribir $v_1'$ y $v_2'$ en términos de $u_1$

y a través de la inspección geométrica, podemos determinar que:

t a norte ψ = \frac{v_{1}^{'} s i norte θ}{v 1^{'} C o s θ + V}

$tan\psi = \frac{v_1' sin\theta}{v1' cos\theta + V}$ que (desde

v / v_{1}^{'} = m_{1} / m_{2}

$v/v_1' = m_1/m_2$ ) se simplifica a:

t a norte ψ = \frac{s i norte θ}{C o s θ + ({metro}_{1} / {metro}_{2})}

$tan\psi = \frac{sin\theta}{cos\theta + (m_1/m_2)}$

y eso:

t a norte ξ = \frac{v_{2}^{'} s i norte θ}{V - v_{2}^{'} C o s θ}

$tan\xi = \frac{v_2' sin\theta}{V - v_2' cos\theta}$ que (desde

V = v_{2}^{'}

$V = v_2'$ ) se simplifica a:

t a norte ξ = C o t \frac{θ}{2}

$tan\xi = cot\frac{\theta}{2}$ Insinuando:

2 ξ = π - θ

$2\xi = \pi - \theta$

Luego, en el caso de que $m_1 = m_2$ tenemos:

ψ = \frac{θ}{2}

$\psi = \frac{\theta}{2}$ de modo que:

ξ + ψ = \frac{π}{2}

$\xi + \psi = \frac{\pi}{2}$

A pesar de todas estas acrobacias matemáticas sofisticadas, el resultado parece contrario a lo que esperábamos. ¿Por qué el ángulo de dispersión entre las dos partículas debe ser siempre de 90 grados?

¿Qué pasa si, por ejemplo, la partícula 1 golpea directamente a la partícula 2 de modo que la partícula 1 rebota hacia atrás, mientras que la partícula 2 es empujada hacia adelante, creando un ángulo de dispersión de 180? ¿No es eso lo que normalmente vemos en el billar (donde las bolas son aproximadamente iguales en masa)?

usuario

Las bolas de billar no son precisamente... "ideales" al chocar. Dependiendo de cómo golpees la pelota, puede girar mientras avanza. La rotación puede tener cualquier dirección. Por ejemplo, puede girar hacia atrás mientras se mueve hacia adelante. Entonces, después de que choca, puede moverse en una dirección (según la rotación que se le dio anteriormente), o simplemente quedarse quieto.

dmckee --- gatito ex-moderador

Porque se dispersan espalda con espalda en el sistema CoM.

Respuestas (3)

¿Por qué las partículas de igual masa (con una en reposo) que sufren colisiones elásticas se dispersan solo en ángulo recto?

Las bolas de billar no son precisamente... "ideales" al chocar. Dependiendo de cómo golpees la pelota, puede girar mientras avanza. La rotación puede tener cualquier dirección. Por ejemplo, puede girar hacia atrás mientras se mueve hacia adelante. Entonces, después de que choca, puede moverse en una dirección (según la rotación que se le dio anteriormente), o simplemente quedarse quieto.

pablo t · Answer 1

La colisión frontal perfecta es un caso especial en el que no tenemos que preocuparnos por ningún ángulo relativo. Podemos resolverlo usando Física 1, conservación del impulso y la energía, todo en el marco del laboratorio.

Para partículas de igual masa

metro {tu}_{1} = metro v_{1} + metro v_{2} ⟹ {tu}_{1} = v_{1} + v_{2},

$m u_1 = m v_1 + m v_2 \implies u_1 = v_1 + v_2,$

y

\frac{1}{2} metro {tu}_{1}^{2} = \frac{1}{2} metro {v_{1}}^{2} + \frac{1}{2} metro {v_{2}}^{2} ⟹ {tu}_{1}^{2} = {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} .

$\frac{1}{2} m {u_1}^2 = \frac{1}{2} m {v_1}^2 + \frac{1}{2} m {v_2}^2 \implies {u_1}^2 = {v_1}^2 + {v_2}^2 .$

Podemos elevar al cuadrado la ecuación del momento y encontrar

{tu}_{1}^{2} = {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} + 2 v_{1} v_{2} = {v_{1}}^{2} + {v_{2}}^{2} .

${u_1}^2 = {v_1}^2 + {v_2}^2 + 2 v_1 v_2 = {v_1}^2 + {v_2}^2.$

Entonces

2 v_{1} v_{2} = 0.

$2 v_1 v_2 = 0.$

Esto significa que una de las partículas tiene velocidad cero después de la colisión. O la partícula 1 pasó directamente a través de la partícula 2 sin ningún efecto (afísico), o la partícula 1 se detiene y transfiere todo su impulso y energía a la partícula 2.

En el marco del centro de masa, esto se estaría dispersando en $180^\circ$ . El hecho de que la primera partícula se detenga debe romper una de las suposiciones de M&T. En este caso, el ángulo de dispersión de la partícula 1 $\theta$ está mal definido. ¿Cuál es la dirección del movimiento de una partícula que se detiene?

En el billar ves una bola que rebota hacia atrás, porque estaba girando hacia atrás antes de la colisión (mientras se deslizaba por la mesa). Para. El momento angular se conserva, por lo que sigue girando. La fricción atrapa el giro en la mesa y comienza a rodar hacia atrás. Si la pelota está rodando sobre la mesa, continuará moviéndose hacia adelante después de la colisión por la misma razón.

No tengo la reputación para comentar, pero establecer $\theta=0$ no es el problema, como sugiere otra respuesta:

broncearse ξ = cuna 0 \to \infty ⟹ ξ = \frac{π}{2}

$\tan\xi=\cot 0\rightarrow\infty \implies \xi=\frac{\pi}{2}$

Mansoor-hep · Answer 2

Para una colisión frontal, si tomamos $\psi = 0$ entonces esto implica $\theta = 0$ y $\zeta = 0$ . Pero en la derivación de $\zeta + \psi = \pi/2$ se supone implícitamente que $\theta \neq 0$ , por lo tanto, el caso de colisión frontal se excluye automáticamente en la derivación.

scott lorenzo · Answer 3

Creo que derivar ese mismo resultado en el caso "frontal" donde uno de los ángulos de dispersión es $0$ y $\pi$ termina dividiendo por $0$ .

cuna \frac{θ}{2} = \frac{1}{0}

$\cot \frac\theta 2 = \frac{1}{0}$

¿Por qué las partículas de igual masa (con una en reposo) que sufren colisiones elásticas se dispersan solo en ángulo recto?

usuario279043

usuario

dmckee --- gatito ex-moderador

Respuestas (3)

pablo t

Mansoor-hep

scott lorenzo

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