¿Por qué las ondas planas EM son transversales?

Tomemos un caso un poco más general: considere una onda con un vector de onda$\vec k=(k_x,k_y,k_z)$, con el campo eléctrico dado por

Para satisfacer la ley de Gauss, debemos imponer:

Físicamente, esto significa que la dirección de propagación es siempre$\dots$al campo eléctrico. El mismo argumento se aplica exactamente para el$\vec B$-campo.

Dejo como ejercicio al lector que se convenza a sí mismo de que la pregunta planteada originalmente es equivalente, es decir, que podemos suponer sin pérdida de generalidad que$\vec k = (0,0,k_z)$, dando como resultado la conclusión a la que llegó Griffiths.

En esta respuesta, comenzaré con una expresión real para$E$, porque creo que la exposición es más clara. No hay pérdida de generalidad al hacer eso, porque la expresión real siempre será equivalente a la parte real de la versión compleja de$E$, para alguna elección apropiada del origen. Por lo tanto, mi punto de partida es

Desde$E$no depende de$x$o$y$, claramente$\partial E/\partial x=0$y$\partial E/\partial y=0$, por lo que la única forma en que la condición$\nabla \cdot E=0$siempre se puede sostener es si$\partial E_z/\partial z=0$siempre se mantiene, es decir,

La única manera de que esa ecuación se cumpla para todos $z$y todo$t$es si cualquiera$(E_0)_z=0$, o$k=0$. Si$(E_0)_z=0$, eso era lo que había que probar, así que estaríamos listos. La alternativa de$k=0$significa que$E$se puede expresar como

Dado que no hay corriente involucrada, la ecuación Ampere-Maxwell se reduce a solo

Pero

entonces el$z$componente de la ecuación Ampere-Maxwell implica que

La única forma en que esa condición se mantendrá para todos$t$es si cualquiera$(E_0)_z=0$, en cuyo caso hemos terminado, o$\omega=0$. Pero si$\omega=0$, eso significa que simplemente

por alguna constante$(E_0)_z$, es decir, un distinto de cero$(E_0)_z$a lo sumo superpondría un campo adicional constante encima de la onda. Además, las condiciones de contorno serían un problema con un valor distinto de cero$(E_0)_z$, porque integrando$E$a lo largo de$z$eje resultaría en una diferencia de potencial eléctrico arbitrariamente grande. Así que la única posibilidad físicamente razonable es$(E_0)_z=0$.

La derivación de$(B_0)_z=0$es casi lo mismo, pero con$E$y$B$transpuesto, y con un signo diferente o constante en un par de lugares.

En una antena transmisora ​​de radio o televisión, los electrones oscilan de un lado a otro. Esto introduce una componente transversal en los campos eléctricos (preexistentes) asociados con los electrones. (Los componentes radiales son prácticamente cancelados por los campos de los protones estacionarios). La corriente eléctrica asociada con los electrones en movimiento también produce un campo magnético transversal (envuelto alrededor del cable). Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a la interacción de estos dos campos predicen la velocidad a la que la perturbación se alejará de la antena.