Ecuaciones de Maxwell para ondas electromagnéticas.

Buen día, soy estudiante de Física en la universidad de Padua, debo resolver este problema para mi examen de campos electromagnéticos, pero tengo diferentes problemas. El texto es el siguiente:

El campo eléctrico de una onda electromagnética es:

mi = mi 0 pecado ⁡ ω t ( pecado ⁡ ω z , porque ⁡ ω z , 0 ) .
tengo que encontrar el campo magnetico B , entonces tengo que verificar la ecuación de Maxwell para mi y B , y finalmente tengo que encontrar el 4-potencial A m en el calibre Lorenz.

En primer lugar, he considerado norte la dirección de propagación de la onda:

norte = ( 0 , 0 , 1 )

Así que pensé que B es el producto cruz de norte y E, he obtenido:

B = norte × mi = mi 0 pecado ⁡ ω t ( − C o s ω z , s i norte ω z , 0 )

Y este resultado me pareció razonable, porque el producto escalar entre E y B es nulo.

En el espacio vacío, espero que la divergencia de E y B sea nula, y en este caso se verifica. Las otras dos ecuaciones de Maxwell establecen:

∇ × mi + ∂ B ∂ t = 0

mi 0 ω pecado ⁡ ω t ( s i norte ω z , C o s ω z , 0 ) + mi 0 ω porque ⁡ ω t ( − C o s ω z , s i norte ω z , 0 ) = mi 0 ω ( − C o s ( ω t + ω z ) , s i norte ( ω t + ω z ) , 0 )

Pero de esta manera el seno y el coseno no pueden desaparecer simultáneamente, ¡tienen el mismo argumento!

∇ × B − ∂ mi ∂ t = 0

mi 0 ω pecado ⁡ ω t ( − C o s ω z , s i norte ω z , 0 ) − mi 0 ω porque ⁡ ω t ( s i norte ω z , C o s ω z , 0 ) = mi 0 ω ( − s i norte ( ω t + ω z ) , − C o s ( ω t + ω z ) , 0 )

Hay el mismo problema que antes.

Entonces he tratado de obtener A m .

A = B ω

∇ × A = ∇ × B ω = 1 ω ∇ × B = B

porque me di cuenta

∇ × B = ω B

Entonces quise obtener A 0

mi = ∂ A ∂ t − ∇ A 0

Pero me detuve ahí porque, en mi opinión, hay demasiados errores en mi razonamiento. La ecuación de Maxwell no está verificada.

si alguien tiene la solucion le estare infinitamente agradecido

Parece extraño tener ω z en la expresión del campo eléctrico. ¿No debería existir el vector de onda, k ? Tu invitado, B = norte × mi parece injustificado y también se topa con problemas de dimensiones. Aparte de hacer que B sea perpendicular a E, no está claro cómo se te ocurre esto.
Haciendo ping a @user1583209, incluí la derivación en mi respuesta, si está interesado en ella. Puedes evitar el C en unidades ajenas al SI donde B → y mi → tener las mismas unidades; en unidades SI es B → = C − 1 k ^ × mi → dónde k ^ es el vector unitario en la dirección de k → .

Respuestas (2)

Preferiría usar la ley de Faraday para obtener el campo magnético:

∇ × mi = − ∂ B ∂ t = mi 0 ω pecado ⁡ ω t ( pecado ⁡ ω z , porque ⁡ ω z , 0 )
B = mi 0 porque ⁡ ω t ( pecado ⁡ ω z , porque ⁡ ω z , 0 )

Hay al menos dos formas de resolver esto; uno fue dado por @Ismasou arriba.

Otro es el método que parece estar utilizando, el método de las ondas planas. La ecuación de onda en el vacío. ∇ 2 mi = C 2 mi ¨ se está resolviendo mediante términos que parecen F ( k → ⋅ r → − ω t ) para ω / | k → | = C . Podemos elegir nuestras coordenadas para que el campo eléctrico esté en el X ^ dirección y la propagación es en el z ^ dirección así para algún ángulo de fase tenemos mi → = mi 0   X ^   porque ⁡ ( k z − ω t + φ ) más o menos. Hacemos lo que sugiere Ismasou con esta ola más simple y encontramos que ∂ t B → = − y ^ ( ∂ z mi X − ∂ X mi z ) que es directamente + y ^   mi 0   k   pecado ⁡ ( k z − ω t + φ ) . Integrar con respecto a t y encuentras B → = B → 0 + y ^   mi 0   ( k / ω )   porque ⁡ ( ω t − k z ) , entonces, ignorando la constante, B → = C − 1 z ^ × mi → . Dado que el vector de onda en este caso es k → = k z ^ podemos hacer esto completamente general y decir que para cualquier onda plana, si norte ^ = k → / | k → | , entonces

B → = 1 C norte ^ × mi → .
Tenga en cuenta que esto solo es válido para ondas planas.

Bien, ahora vienes con esta expresión más complicada para una onda estacionaria,

mi → = mi 0 pecado ⁡ ( ω t ) [ pecado ⁡ ( k z ) porque ⁡ ( k z ) 0 ] .
Esta no es una onda plana, entonces, ¿qué hacemos? Lo descomponemos en ondas planas. En general, las ondas estacionarias son sumas de ondas planas. Veamos cómo hacer esto.

Empezamos con las reglas de la suma de ángulos,

porque ⁡ ( ω t ± k z ) = porque ⁡ ( ω t ) porque ⁡ ( k z ) ∓ pecado ⁡ ( ω t ) pecado ⁡ ( k z ) , pecado ⁡ ( ω t ± k z ) = pecado ⁡ ( ω t ) porque ⁡ ( k z ) ± porque ⁡ ( ω t ) pecado ⁡ ( k z ) .
Ahora tratamos de "revertirlos" usando ambos signos. En tu caso,
pecado ⁡ ( ω t ) pecado ⁡ ( k z ) = 1 2 [ porque ⁡ ( ω t − k z ) − porque ⁡ ( ω t + k z ) ] , pecado ⁡ ( ω t ) porque ⁡ ( k z ) = 1 2 [ pecado ⁡ ( ω t − k z ) + pecado ⁡ ( ω t + k z ) ] .
En otras palabras,
mi → = mi 0 2 [ porque ⁡ ( ω t − k z ) pecado ⁡ ( ω t − k z ) 0 ] + mi 0 2 [ − porque ⁡ ( ω t + k z ) + pecado ⁡ ( ω t + k z ) 0 ] .
El primero de ellos se está propagando en el norte ^ = + z ^ dirección como se puede ver en los signos opuestos del argumento F ( ω t − k z ) . (Si nunca ha practicado esto, medite en la oración "a ver qué es en este z en algún momento t + d t , mira lo que es en esto t pero en algún lugar z − C   d t "hasta que veas que esto significa que la onda se está moviendo hacia + z .) Pero el segundo de estos se está propagando en el norte ^ = − z ^ dirección como se puede ver en los mismos signos del argumento F ( ω t + k z ) .

Entonces, por superposición, la B → campo para la suma es el B → campo para cada uno individual, y puede encontrarlo con 1 C norte ^ × mi → para cada uno de ellos individualmente, luego súmalos. Entonces debería poder usar esas reglas de suma de ángulos nuevamente en la dirección "hacia adelante" para obtener la expresión de onda estacionaria correcta, y lo que estaba mal con su enfoque fue que trató la onda estacionaria como si fuera una onda que viaja hacia adelante. onda plana, cuando en realidad es esta superposición de ondas hacia adelante y hacia atrás.

Tienes razón ! Debería haber considerado una superposición de ondas planas, no una onda plana, realmente tuve un mal comienzo... de todos modos muchas gracias! estoy agradecido y satisfecho
Ecuaciones de Maxwell para ondas electromagnéticas.
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