¿Por qué la velocidad promedio no se define como la magnitud de la velocidad promedio?

La gente ya respondió a su pregunta desde el punto de vista de la utilidad, pero solo quiero agregar que su razonamiento no es correcto:

La velocidad generalmente se define como la magnitud de la velocidad (instantánea). Entonces, uno podría suponer que la velocidad promedio se definiría como la magnitud de la velocidad promedio.

Así no es cómo funciona. si tenemos

[velocidad] = [magnitud de la velocidad]

entonces la lógica dicta que deberíamos tener

promedio [velocidad] = promedio [magnitud de la velocidad]

y no

promedio [velocidad] = magnitud de [velocidad promedio]

y, de hecho, esto es lo que tenemos.

Dada una velocidad en función del tiempo, la velocidad en función del tiempo es la magnitud de la velocidad en cada punto en el tiempo. La velocidad promedio es entonces el promedio de esta magnitud, como lo sería para cualquier función del tiempo, como la densidad o la temperatura. La cuestión de si la magnitud promedio de la velocidad es igual a la magnitud del promedio de la velocidad se convierte entonces en una conjetura a verificar. Dado que un objeto puede moverse a alta velocidad mientras regresa al mismo lugar y, por lo tanto, tener una velocidad promedio cero con una velocidad promedio alta, esto muestra por contraejemplo que la velocidad promedio, definida como cualquier otro promedio, en realidad no es igual a la magnitud de la velocidad media.

Es muy común encontrar que el promedio de alguna función no es la función del promedio. Por ejemplo, el promedio$x^2$no suele ser el cuadrado de la media de$x$.

Puede calcular el valor medio del vector de velocidad.

Sin embargo, a veces resulta inútil. Un ejemplo trivial es un movimiento circular.

La velocidad media de una espira completa en un movimiento circular es$\vec{0}$, ya que la velocidad apunta en una dirección al principio, y$\pi$radianes más tarde está apuntando en el opuesto, por lo que sus contribuciones se anulan. Entonces la "velocidad" promedio es$\vec{0}$.

Sin embargo, esto no nos está dando mucha información. Por el contrario, la relación entre la "circunferencia" y el "tiempo transcurrido" nos da la "velocidad media" real.

A veces, de todos modos, puede ser útil darles ambos. Cuanta más información mejor.

La razón simple es que la velocidad puede volverse negativa y esto afectará el promedio. El ejemplo más claro de la diferencia sería un péndulo (o cualquier otro sistema resonante).

Un péndulo se balancea hacia adelante y hacia atrás. Sigue su trayectoria en una dirección, acelera y luego desacelera hasta detenerse momentáneamente; y luego invierte la dirección para repetir exactamente la misma trayectoria en reversa.

El péndulo sigue el mismo camino cada vez, en direcciones opuestas. Dado que la velocidad tiene signo, la velocidad promedio para ir en una dirección es exactamente igual en magnitud y de signo opuesto a la velocidad promedio para ir en la otra dirección. Por lo tanto, la velocidad media es cero.

La velocidad media , por supuesto, no será cero. Será igual a la magnitud de la velocidad promedio para la mitad de la trayectoria del péndulo, porque ambas mitades tienen la misma magnitud de velocidad.

El error es que la magnitud de la velocidad no es en realidad una definición, pero se aprecia mejor como consecuencia de la definición real, y cualquier material que diga que lo es es un material de estudio problemático.

La definición real de velocidad en ambos casos es realmente la distancia recorrida durante el tiempo que se tarda en recorrerla. Es solo que en el caso de la velocidad instantánea , el valor absoluto de la velocidad es igual a la velocidad porque la magnitud del diferencial de longitud de arco ($ds$) - es decir, el pequeño incremento de la distancia recorrida - es igual a la magnitud de la diferencia de desplazamiento ($d\mathbf{r}$), es decir, el vector desde el inicio hasta la posición actual. Matemáticamente, la definición correcta de velocidad instantánea es

y velocidad

Sin embargo ahora (al menos para dos dimensiones) tenemos que$ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$, pero también$d\mathbf{r} = dx\ \mathbf{i} + dy\ \mathbf{j}$. Qué es$|d\mathbf{r}|$?

Es bastante simple en realidad. "Velocidad media" es el promedio de la velocidad. En general, el promedio de cualquier función$f(t)$es

En el caso de$f(t)$siendo la velocidad$s(t)$, La integral de la velocidad$\int_a^b s(t)\ dt$da la distancia total recorrida, y$b-a$es el tiempo transcurrido, resultando en la fórmula que mencionas.

Pensado de otra manera, "Velocidad promedio" es "magnitud promedio de la velocidad", que es bastante diferente de "magnitud de la velocidad promedio": los modificadores "promedio" y "magnitud" no se conmutan. No hay razón para usar un término cuando en realidad te refieres al otro. En otras palabras,

Como escribió, estas cantidades son diferentes y le brindan información diferente, entonces, ¿por qué querría llamar a la magnitud de la velocidad promedio la velocidad promedio?

Si viaja en un automóvil, es la velocidad promedio del viaje la que podría desear, incluso si el punto de partida y el de llegada fueran los mismos.
¿De qué serviría decir que la magnitud de la velocidad media era cero?

Todo está dicho en las otras respuestas. Pero creo que podría ser útil reformular las cosas formalmente desde un punto de vista diferente, posiblemente nuevo para los lectores de físicos, por lo que requiere una explicación más detallada (disculpas), y es por eso que decidí convertirlo en una respuesta en lugar de un comentario. como originalmente pretendía.

Esta es realmente una cuestión de lingüística, no de física.

Tiene dos entidades/cantidades de interés en su discurso de física, el promedio de la velocidad a lo largo del tiempo y la magnitud de la velocidad promedio, y necesita nombrarlos a ambos. La forma en que funciona el lenguaje, al menos en muchos sistemas de análisis del lenguaje, y en particular en los lenguajes de programación, que se encuentran en un nivel de formalidad similar a la física, es la siguiente (esto es una gran simplificación, al menos para el lenguaje natural):

Tienes conceptos elementales que se expresan con varios nombres o símbolos, que forman un vocabulario (con diferentes categorías: nombre, verbo, escalar, función,...). Luego tienes reglas sintácticas (gramática) que usas para construir estructuras más grandes a partir de las elementales, como expresiones u oraciones. El significado funcional está asociado a reglas sintácticas.

Luego, obtener el significado de una expresión u oración se hace más o menos considerando que este significado es una imagen homomórfica del dominio sintáctico de la oración al dominio abstracto de los significados. El homomorfismo se define por la correspondencia entre los elementos del vocabulario con entidades elementales, y entre las reglas sintácticas y su significado funcional.

En realidad, esto se ha utilizado de una manera matemática muy formal para definir lenguajes de programación.

Este enfoque homomórfico, basado en obtener el significado del todo al componer (según la sintaxis gramatical) los significados de las partes, es la esencia, en un ejemplo muy trivial, de la respuesta dada por user541686

Ahora bien, la gente no siempre respeta la sintaxis (solo escucha radio o televisión). También pueden tomar expresiones y decidir arbitrariamente (cuando tienen poder para hacerlo) que ese significado es diferente al que derivaría del homomorfismo. Esto incluso puede suceder a través de la evolución en el caso del lenguaje natural. Pero solo hace que entender las cosas sea más complicado, posiblemente más propenso a errores y malas interpretaciones.

Por lo tanto, no puede decidir cuál es la "velocidad promedio". El significado de esta expresión debe derivarse de manera estándar del significado funcional de promedio, aplicado al significado de velocidad, de la misma manera que lo haría con la presión promedio o el peso promedio (bueno, hay mucho que está implícito, y el lenguaje rara vez es simple).