¿Por qué la velocidad es un vector?

Si queremos ser matemáticamente precisos, simplemente decir "la velocidad es un vector" no es suficiente.

La definición de velocidad es como la derivada temporal de la posición . En términos matemáticos, esto significa que, independientemente de si pensamos en la posición como un punto en$\mathbb{R}^n$o una variedad más general donde la posición en sí misma no es un vector: las velocidades son vectores tangentes a las curvas$x(t)$en nuestro espacio de posición. En general, puede sumar dos vectores tangentes en el mismo punto porque son vectores en el mismo espacio tangente, pero no puede sumar "velocidad del auto A" a "velocidad del auto B" a menos que los dos autos estén chocando actualmente y por lo tanto estos dos vectores viven en el mismo punto .

Sumar dos velocidades en el mismo punto es solo una forma de expresar que es equivalente a decir "Esta cosa se mueve a$\sqrt{2} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$noroeste" y "Esta cosa se mueve a$1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$al norte y se mueve a$1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$oeste" - el "y" allí corresponde a la suma.

Desde la perspectiva algebraica lineal, el vector resultante no necesita tener una interpretación física en términos de los vectores constituyentes, solo necesita ser un vector de velocidad (es decir, es posible que algo tenga tal velocidad). Sin embargo, de hecho puede haber un significado físico para sumar velocidades. Considere, por ejemplo, una persona, Bob, corriendo en la cubierta de un barco en movimiento. La velocidad de Bob con respecto al agua será$\vec{v}_\text{Bob-water}=\vec{v}_\text{Bob-ship}+\vec{v}_\text{ship-water}$.

Las cosas se complican un poco más en la relatividad, donde las velocidades no se suman como arriba. Para mantener todo por debajo de la velocidad de la luz, las velocidades se combinan utilizando la fórmula relativista de suma de velocidades . Entonces, de hecho, no necesariamente tenemos que la suma de las velocidades físicas sea otra velocidad física. Esto se aclara en tratamientos más sofisticados de la relatividad, donde en lugar de la "velocidad 3"$\vec{v}$consideramos "4-velocidad", dada (en espacio-tiempo plano) por

$$V=\gamma(c,\vec{v}).$$ Esto describe la velocidad de un objeto en el espacio-tiempo al incluir una "velocidad en el tiempo" como la$0^\text{th}$componente. Estos son en realidad todos los vectores unitarios con la norma de Minkowski$V^2=\eta_{\mu\nu}V^\mu V^\nu=c^2$y por eso no es de extrañar que$V\neq V_1+V_2$para cualquier elección de$V_1,V_2$. El espacio en el que residen los vectores de velocidad es simplemente el espacio de 4 vectores tangentes a un punto particular en el espacio-tiempo (conocido como espacio tangente ), que es un espacio vectorial.

Pero, ¿qué significa sumar velocidades?

Parece que esto es con lo que estás luchando. Para entender intuitivamente lo que significa sumar vectores de velocidad, considere un pequeño ejemplo.

Digamos que hay un cañón que dispara bolas a 300 km/h en un ángulo de 30 grados con la horizontal.
Y lo pones en un automóvil que viaja por un suelo horizontal a 100 km/h.

Para obtener la velocidad resultante de la bala cuando se dispara, hacemos una suma de vectores, es decir, sumamos el vector de velocidad de la bala de cañón al vector de velocidad del coche.

Ya hay muchas respuestas. Algunos de ellos mencionan la composición de velocidades como ejemplo de la suma vectorial de velocidades. Eso es engañoso. Si las cosas fueran tan simples, no habría lugar para la composición relativista de velocidades, que no es una suma vectorial. Para establecer la correspondencia correcta entre el concepto físico de velocidad y las propiedades de un espacio vectorial, se debe tener muy claro cuáles son los objetos que se quisiera considerar elementos del espacio vectorial. No tiene sentido hablar de velocidad sin especificar la velocidad de qué .

La velocidad es una propiedad física de un sistema físico . Más precisamente, decimos que un objeto puntual tiene velocidad$\bf v$a la vez$t$, si${\bf v}= \frac{{\mathrm d}{\bf r}}{{\mathrm d }t}$, dónde${\bf r}(t)$es la trayectoria del cuerpo en función del tiempo.

En realidad, tal definición ya nos permite decir que las velocidades son elementos de un espacio vectorial, que heredan la estructura del espacio vectorial de la de las posiciones (o desplazamientos).

Sin embargo, podríamos investigar la estructura algebraica del posible conjunto de velocidades de forma independiente. En tal caso, necesitamos encontrar un procedimiento operativo para dar una velocidad a un cuerpo y comparar diferentes velocidades del mismo cuerpo. El punto clave es que la suma que necesitamos debe ser la suma de dos velocidades del mismo cuerpo . Esto excluye la composición de velocidades en diferentes marcos de referencia. Necesitamos las propiedades de la velocidad en un marco, antes de preguntar sobre los cambios con el marco de referencia.

La definición permite mapear cualquier velocidad de un cuerpo a la aproximación lineal de los desplazamientos d${\bf r}= {\bf v}{\mathrm d}t$. Una forma sencilla de proporcionar un mecanismo físico para sumar una velocidad${\bf v}'$a una velocidad${\bf v}$es a través de una fuerza impulsiva, como en el caso de una colisión elástica con otro cuerpo: si sabemos que una fuerza impulsiva$\bf F_1$en un cuerpo en reposo producirá una velocidad$\bf v_1$y otra fuerza impulsiva$\bf F_2$producirá velocidad$\bf v_2$, podemos definir la suma$\bf v_1+v_2$como la velocidad resultante de la presencia simultánea del$\bf F_1$y$\bf F_2$.

Partiendo de esta definición de la suma de velocidades, nos queda la tarea de comprobar experimentalmente que cumple los requisitos correspondientes a un espacio vectorial (existencia del elemento neutro, existencia del inverso y los demás axiomas de un vector espacio.

En general, cada vez que sumas dos vectores del mismo espacio vectorial, obtienes un vector que también es miembro de este espacio vectorial.

Lo mismo puede decirse de los vectores de velocidad. Los vectores de velocidad también forman vectores en un espacio vectorial tangente, el conjunto de todos los vectores espaciales tridimensionales (o cualquier cantidad de dimensiones$n$en el que está trabajando) tangente a las curvas de posición en${\mathbb R}^n$.

Entonces, si toma dos vectores de velocidad de este espacio y los suma, el resultado sigue siendo un vector en el mismo espacio vectorial, completamente análogo a su ejemplo anterior de álgebra lineal$^1$.

Para cualquier espacio vectorial$\mathbb V$, la suma de vectores se puede considerar como el mapa$+ : \mathbb V \times \mathbb V\rightarrow \mathbb V$, que mapea dos vectores${\bf u, v} ∈ \mathbb V$a su suma${\bf {u + v}} \in \mathbb V$

Para su ejemplo de sumar la velocidad de un automóvil a la de otro automóvil, si bien puede tener sentido matemáticamente, en realidad no tiene sentido físicamente ya que la velocidad de un automóvil es independiente de la del otro automóvil.

Sin embargo, si considera que, por ejemplo, dos fuerzas actúan sobre un automóvil, de modo que uno empuja el automóvil con velocidad$\bf v$y el otro con velocidad$\bf u$, entonces el automóvil tendrá una velocidad resultante$\bf u+v$, donde los vectores$\bf u$,$\bf v$y$\bf u+v$son todos miembros del mismo espacio vectorial.

$^1$Tenga en cuenta que la suma de vectores de velocidad en la relatividad no es tan sencilla, ya que la suma lineal simple ya no es válida y el tiempo se trata en igualdad de condiciones que el espacio. Los puntos en el espacio (espacio-tiempo) están definidos por cuatro vectores de posición. En este caso, los vectores de velocidad pertenecen al espacio de los cuatro vectores tangentes, que son tangentes a los puntos de las curvas en el espacio-tiempo .

pregunta interesante Voy a reformular la pregunta como "¿Hay álgebra de velocidad?" ¿Puedo agregar vectores de velocidad de una manera físicamente significativa? Obviamente hay un álgebra de fuerzas ya que puedo sumar vectores de fuerza, así que ¿por qué no vectores de velocidad?

Respuesta rápida . La respuesta es no porque los vectores de velocidad por sí solos no son suficientes para describir el movimiento de un cuerpo rígido. El movimiento de un cuerpo se describe mediante un eje de rotación, la velocidad de rotación y cualquier velocidad paralela a lo largo del eje de rotación (Teorema de Chasle). Para agregar movimientos, debe resolver la velocidad en un punto común en el espacio.

Se produce una restricción relacionada con los vectores de fuerza, ya que solo puede agregarlos si sus colas están en el mismo punto (usando la regla del paralelogramo).

La excepción a la regla anterior es cuando solo hay traducción pura, como una persona que camina en un tren veloz.

Sin embargo , puede agregar velocidades cuando considera un vector que contiene las partes lineal y angular de la velocidad. Tal vector tiene 6 componentes en 3D y se llama giro . En un plano, dicho vector tiene 3 componentes.

Quiero demostrarte que puedes realizar álgebra con giros, de hecho así es como se modela la mayoría de las cinemáticas de los mecanismos robóticos.

El movimiento del efector final es solo la suma de todos los giros relativos en cada articulación.

$$\boxed{ \boldsymbol{t}_{\rm end} = \sum_i^n \boldsymbol{t}_i }$$

Lo anterior es una suma de velocidad (giros).

Un ejemplo detallado simplificado

Considerar solo los movimientos planos simplifica las cosas y nos permite visualizar cualquier eje de rotación como un punto en el plano.

Aquí dos cuerpos idénticos #1 y #2 están fijados, cada uno con una velocidad de rotación relativa de$\dot \theta_1$y$\dot \theta_2$. El pasador raíz está en el punto A , el pasador relativo en B y el punto final de interés en C.

La velocidad de cada partícula en un cuerpo a medida que se aleja del pivote varía linealmente hasta el punto B , y luego nuevamente linealmente con una tasa diferente hasta el punto C. Estas son las líneas azules discontinuas que ves arriba y las flechas verticales son los vectores de velocidad en B y C respectivamente.

Obviamente, no puede simplemente agregar las velocidades al estado$v_C = v_A + v_B$, pero puede agregar las velocidades de rotación.

Aquí las velocidades de rotación de los cuerpos son

$$\begin{aligned} \omega_1 & = \dot \theta_1 & & \text{link #1} \\ \omega_2 & = \omega_1 + \dot \theta_2 & & \text{link #2} \\ \end{aligned}$$

Asignemos el vector fuera del plano $\hat{z} y traigamos lo anterior en forma vectorial

$$\begin{aligned} \vec{\omega}_1 & = \hat{z} \dot \theta_1 & & \text{link #1} \\ \vec{\omega}_2 & = \vec{\omega}_1 + \hat{z} \dot \theta_2 & & \text{link #2} \\ \end{aligned}$$

Y esta es la suma de vectores de velocidad angular. Pero, ¿qué pasa con las velocidades lineales? Aquí está lo que haces:

¿Cuál es la velocidad lineal de #1 en B ?

$$\vec{v}_B = \vec{\omega}_1 \times \vec{ \ell}$$

¿Y cuál es la velocidad lineal relativa de #2 en B ? Bueno, es cero ya que los dos cuerpos igualan mucho la velocidad en la articulación. Entonces la velocidad de #2 en B también es$\vec{v}_B$lo que hace que la velocidad en el extremo sea

$$\vec{v}_C = \vec{v}_B + \vec{\omega}_2 \times \vec{\ell}$$

O puede encontrar directamente la velocidad en C usando la suma de vectores para velocidades. Considerar$\vec{v}_C$ como la suma de dos vectores en un lugar común, el punto C .

El primer vector de velocidad es el del cuerpo #1 si se extiende hasta el punto C

$$\vec{v}_{C1} = \vec{\omega}_1 \times 2 \vec{\ell}$$

El segundo vector de velocidad es el de la velocidad conjunta relativa también extendida hasta el punto C

$$\vec{v}_{C2} = \hat{z} \dot{\theta}_1 \times \vec{\ell}$$

y ahora podemos sumar vectores de velocidad

$$\boxed{ \vec{v}_C = \vec{v}_{C1} + \vec{v}_{C2} }$$

Lo anterior se interpreta como que la velocidad del cuerpo #2 en cualquier punto, es igual a la velocidad del cuerpo #1 en el mismo punto más la velocidad relativa entre los dos cuerpos también en el mismo punto .

---

• Artículo de wiki relacionado Teorema del centro relativo de rotación .

Si dos cuerpos rígidos planos están en contacto, y cada cuerpo tiene su propio centro de rotación distinto, entonces el centro de rotación relativo entre los cuerpos tiene que estar en algún lugar de la línea que conecta los dos centros.

Se sabe que la combinación lineal de dos puntos es un punto en algún lugar de la línea que conecta los puntos. La regla anterior es exactamente eso, ya que cada giro es un punto en el espacio para su centro de rotación, y la suma de dos giros es una combinación lineal.$\boldsymbol{t}_{\rm rel} = \boldsymbol{t}_B - \boldsymbol{t}_A$

Intuitivamente , puedes verlo así. Imagina que conduces un automóvil y te encuentras en una carretera con curvas. Evidentemente, a medida que transita por la carretera, debe cambiar de dirección y debe viajar a cierta velocidad. Es fácil ver a partir de este cambio de dirección que un solo número no es suficiente para describir el movimiento de su automóvil.

La velocidad es un puntero que te dice hacia dónde se dirige la partícula ya qué velocidad se dirige allí. Esto se expresa como

$$\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t},$$ dónde$\vec{r}$es el vector de posición de la partícula. Si bien sumar las velocidades de dos autos independientes a menudo no tiene un significado físico, no describe el movimiento de nada, pero si por alguna razón tiene que considerar los autos como un solo sistema, y ​​se puede suponer que tienen la misma masa, el centro de masa del sistema es $$\vec{R}_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec{r}_{\mathrm{car,A}} + \vec{r}_{\mathrm{car,B}}}{2},$$ la velocidad del centro de masa se puede encontrar diferenciando esta relación, $$\vec{V}_{\mathrm{cm}}=\frac{\vec{v}_{\mathrm{car,A}} + \vec{v}_{\mathrm{car,B}}}{2}.$$ Espero que esto pueda darle al OP una idea de lo que significa agregar velocidades.

La mejor manera de pensar en los vectores es, como señalas, que son elementos de un espacio vectorial. En este caso, el espacio vectorial en el que "vive" la velocidad es$\mathbb{R}^3$, "veces" alguna unidad apropiada, con las operaciones habituales de suma y escala.

Los vectores no están definidos por las propiedades de "tener magnitud y dirección", al contrario de lo que escribe: más bien, los vectores son una construcción matemática útil que nos permite codificar información sobre magnitud y dirección simultáneamente en un solo paquete que luego podemos manipular en útil y formas intuitivas.

En particular, cualquier vector en$\mathbb{R}^3$se puede representar como una flecha desde el origen hasta un punto. Este origen no es el origen del espacio, sino un origen que puede colocar donde necesite "usar" el vector, y la flecha debe entenderse como apuntando en la dirección codificada, mientras que la longitud es la magnitud codificada. En formalismo matemático, un vector en el espacio vectorial viene dado por un triple de números reales:

$$\mathbf{v} := \langle v_x, v_y, v_z \rangle$$

y definimos su magnitud como

$$||\mathbf{v}|| := \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

y su "dirección" por los ángulos esféricos

$$(v_\theta, v_\phi) := \left(\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}}{v_z}\right), \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)\right)$$

Es decir, especificamos "algoritmos de decodificación" que nos permiten extraer la información relevante de la tupla codificada, que se basan en la geometría: entendiendo los elementos de la tupla como coordenadas, estas se derivan del teorema de Pitágoras y la trigonometría.

Ahora, para entender por qué la velocidad es un vector , tenemos que ir a la definición. La definición es la derivada de posición:

$$\mathbf{v}(t) := \left[\frac{dX}{dt}\right](t)$$

Sin embargo, aquí está el truco: Posición,$X(t)$, no es un vector. Más bien, es un punto . Los puntos también están representados por triples en$\mathbb{R}^3$, pero la semántica es diferente: si lo desea, los puntos y los vectores son "tipos de datos" diferentes (algo que podemos precisar usando lenguaje escrito para construir nuestras matemáticas). En particular, un punto representa una ubicación en el espacio real. La estructura de los puntos, al menos en la geometría euclidiana, que es en la que se desarrolla la mecánica elemental, es lo que se denomina un espacio afín . No podemos sumar puntos, pero podemos restarlos : y la resta de dos puntos$X_1$y$X_2$produce un vector. Eso es,$X_2 - X_1$tiene "tipo de datos"$\mathrm{Vector}$, no tipo de datos$\mathrm{Point}$. Semánticamente, este vector codifica la distancia que tienes que recorrer para ir de$X_1$a$X_2$cuando se mueve en línea recta, y la dirección en la que debe mirar para lograr ese movimiento.

Y la velocidad, como la derivada temporal de la posición, se define por un cociente de diferencias ...

$$\left[\frac{dX}{dt}\right](t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{X(t + \Delta t) - X(t)}{\Delta t}$$

... y se puede ver en el numerador, tenemos

$$X(t + \Delta t) - X(t)$$

... una diferencia de posiciones, es decir, de puntos! ¿Y qué tipo de objeto es ese? Entonces, ¿qué es la velocidad?

En relatividad, los vectores de velocidad no forman un subespacio vectorial. Matizo esto, y explico lo que quiero decir, a continuación.

Considere el espacio-tiempo de Minkowski con las coordenadas habituales$(t,x,y,z)$, y un observador "estacionario"$n^\mu = (1,0,0,0)$. Una velocidad medida en el marco de referencia de este observador es un vector$\mathbf v$que es ortogonal a$\mathbf n$, significado$n_\mu v^\mu = 0$. (Por lo tanto, es espacial, o el vector cero). Para los objetos que se mueven más lento que la luz, tenemos$v_\mu v^\mu < 1$(usando$c = 1$), y tomo esto como una definición de "velocidad" a los efectos de esta respuesta. Estos$\mathbf v$son vectores en el sentido de ser elementos del espacio de Minkowski, que es un espacio vectorial de 4 dimensiones (más estructura adicional), sin embargo, no forman un subespacio vectorial del mismo.

Considere la velocidad relativa$(0,2/3,0,0)$, que describe el movimiento a 2/3 de la velocidad de la luz en el$x$-dirección. Sumando este vector consigo mismo, o multiplicando por el número 10, se obtienen vectores que no se encuentran dentro de nuestro conjunto de velocidades.

Sin embargo, hay otras estructuras naturales que puede definir en "El espacio de 3 velocidades", como lo llama Tsamparlis (2019,$\S6.5$,$\S15.4.3$). Define una cierta métrica riemanniana sobre él, por lo que se convierte en una variedad tridimensional de curvatura negativa constante. Supongo que probablemente podría definir una estructura de grupo, correspondiente a una composición relativista de velocidades, que no es la suma vectorial heredada del espacio de Minkowski. Esto lo convertiría en un grupo de Lie, por lo que no es un espacio vectorial, pero sigue siendo un objeto agradable. Es probable que esto ya se haya hecho. Tsamparlis dice que ciertos resultados "han existido durante mucho tiempo".

Si el automóvil A tiene una velocidad v⃗, ¿podemos sumar esta velocidad a la velocidad del automóvil B y obtener otro vector? ¿Está la velocidad del automóvil B en el mismo espacio vectorial? ¿Cuál es el significado físico de tal suma de vectores?

La suma de estos vectores puede definirse matemáticamente, si y solo si estipulas que, de hecho, pertenecen al mismo espacio vectorial. Que en realidad no lo hacen.

El carro A tiene una velocidad con su propio espacio vectorial. El carro B tiene una velocidad con su propio espacio vectorial.$A+B$es por lo tanto inválida.

Sin embargo, si mide la velocidad A y utiliza la posición del automóvil B como punto de referencia, obtiene otro espacio vectorial cuyos miembros son la velocidad relativa de los dos automóviles.

El hecho de que los espacios vectoriales sean matemáticamente idénticos no significa que sean iguales.