Problemas relacionados con las componentes de la velocidad

En la figura anterior, el vector verde muestra la velocidad horizontal$v$y el vector rojo muestra la velocidad$u$.

Enfoque correcto

Si observa el movimiento del punto D desde el marco del suelo, parecería moverse con velocidad horizontal$v$en la dirección correcta. Ahora resolvamos esta velocidad horizontal en dos componentes rectangulares, donde una está a lo largo de la cuerda y la otra es perpendicular a la cuerda. De esta manera la velocidad a lo largo de la cuerda resulta ser$v\cos \theta$. Y así se sigue que$u=v\cos \theta$.

Falacia en el enfoque incorrecto

Tienes razón al decir que la velocidad de D a lo largo de la cuerda es$u$, sin embargo, D también tiene una velocidad a lo largo de la dirección perpendicular a la cuerda. Así, en lugar de que la velocidad horizontal sea la componente de$u$, es$u$esa es la componente de la velocidad horizontal. Además, si usa este enfoque, no podrá justificar lo que sucedió con el componente de$u$que es perpendicular a la cuerda.

Enfoque general

En tales problemas, encuentre siempre la "velocidad real/actual" que casi siempre es la velocidad en el marco del suelo. Esta velocidad es la velocidad final con la que el objeto se moverá bajo las restricciones dadas. Después de encontrar esta velocidad, divídala en sus componentes a lo largo de la dirección preferida y aplique las restricciones para encontrar la relación entre los parámetros cinemáticos (desplazamiento, velocidad, aceleración, etc.).

2ª pregunta ^_

En esta pregunta, el punto G se mueve a lo largo de la circunferencia del círculo y no a lo largo de la dirección horizontal. Por lo tanto, su velocidad final en este caso es la velocidad a lo largo de la circunferencia y, por lo tanto, debe tomar los componentes de esa velocidad en lugar de la velocidad horizontal. Nuevamente, en este caso la falacia del método (1) es similar a la falacia del método (1) de la primera pregunta.

$u$es la velocidad en el punto F

Yo lo veo así:

solo tienes una coordenada generalizada$q$

con :

$$\dot{q}=u(t)\,\cos(\varphi)\quad , q=\int\dot{q}\,dt$$

y

$$\varphi=\varphi(q)$$

por lo que el problema es geométrico cómo obtener$\varphi(q)$

**Editar **

puedes calcular el angulo$\varphi(q)$como esto:

Entonces, ¿tu problema ya está resuelto?

Tomamos las componentes de la velocidad real de cualquier punto, no al revés. Entonces, en tales preguntas, el enfoque general es asumir la velocidad del cuerpo/partícula/punto y aplicarles restricciones . Editar: creo que debería explicar más por qué (1) es un enfoque incorrecto para el primer problema. Es correcto que la velocidad del punto D hacia la cuerda es u. Pero esa no es su velocidad real, ya que su velocidad debe ser horizontal (por restricción). Y como se indicó anteriormente, tomamos componentes de la velocidad real para encontrar la velocidad del punto en alguna dirección, pero no al revés.

Editar: la velocidad real de cualquier partícula se puede definir como un desplazamiento instantáneo neto de partícula/tiempo. Los componentes de la velocidad real son solo y no al revés.

Explicación completa (omita si entendió):

Sea dr â (vector de posición) el desplazamiento real del cuerpo en el tiempo dt. Para ver cuánto se desplaza un cuerpo a lo largo, digamos en la dirección û, tomamos componente de dr â a lo largo de û, es decir, dr(â.û)û.

Por otro lado, si sabemos que un cuerpo se desplaza a lo largo de û por dx(let) pero su desplazamiento real es en la dirección â, no puede tomar la componente de la componente de algún vector original para encontrar ese vector.

Análogamente , trate el vector original (dr â) como un conjunto, luego el componente (a lo largo de û) será su subconjunto, y tomando el componente del componente a lo largo de â dará el sub-subconjunto, NO el conjunto original . Espero que hayas entendido ahora.

@FakeMod dio una excelente respuesta y me gustaría resumir el punto clave. Considere su primer ejemplo. El principio general es -

La velocidad de ambos$F,D$A LO LARGO de la cadena debe ser la misma. De lo contrario, la cuerda no estaría tensa. Entonces, desde tu figura,

$$v(D)_{string}=v(F)_{string}=u$$ $$\implies v(D)cos\theta=u$$ como el LHS te dice el componente de$v(D)$a lo largo de la cuerda. Este es el resultado.

Para reiterar, la velocidad a lo largo de la superficie restringida debe ser la misma , para permanecer bajo esa restricción (por ejemplo, la cuerda está tensa aquí).

Hay una fórmula relevante en tales problemas.

$$\sum T\cdot v = 0$$ dónde$T$y$v$son los vectores de tensión y velocidad asociados a un punto de la cuerda. No sé la derivación exacta, pero supongo que a partir de la restricción de inextensibilidad de la cuerda y el uso de la conservación de energía se puede llegar al resultado.

Entonces, para la primera pregunta, obtenemos,

$$T v \cos\theta + Tu\cos(180^{\circ})=0$$

Y obtenemos el resultado correcto:

$$v=\frac{u}{cos(\theta)}$$