Recientemente vi esta presentación de Brian Greene sobre la teoría de cuerdas. En él describe cómo la razón por la que no observamos las dimensiones adicionales requeridas por la teoría de cuerdas podría deberse a que son muy pequeñas y están "ocultas" para nosotros.
Utiliza una analogía de mirar a través de un estacionamiento a un cable telefónico. Desde nuestro punto de vista, el cable parece plano. Sin embargo, para una hormiga que se arrastra por el alambre, no parecería plano en absoluto. La hormiga puede ver esto claramente, aunque el hecho está "oculto" para nosotros en nuestro punto de vista. Puedo ver cómo esta cruda analogía puede proporcionar una conceptualización de por qué es posible que no se puedan ver otras dimensiones, pero no veo cómo esto puede insinuar de ninguna manera que la dimensión adicional sea "pequeña". Me parece que es el objeto (cable de teléfono) el que nos parece pequeño porque estamos tan lejos. Esto crea la ilusión de que el cable existe en dos dimensiones y no en tres. Esto no significa que la tercera dimensión en sí sea pequeña.
Mi pregunta es, ¿qué significa llamar a una dimensión "pequeña"? ¿Es este un tamaño físico o es una cantidad/expresión matemática que está asociada con el tamaño en beneficio del profano? Además, si una dimensión puede tener un tamaño físico, ¿podemos asignar un tamaño a las tres dimensiones que podemos ver?
Encontré una pregunta Phys.SE similar aquí . Sin embargo, las respuestas a esta pregunta tratan más sobre cómo se pueden medir experimentalmente las dimensiones y no respondieron completamente a mi pregunta.
La forma en que medimos la longitud es usando el tensor métrico . Cualquier espacio-tiempo tiene asociado un tensor métrico, y es el tensor métrico el responsable de la noción de distancia.
Para hacer esto un poco menos abstracto, considere un ejemplo concreto. En el espacio-tiempo plano, el tensor métrico es simplemente el siguiente:
Suponga que desea medir la distancia entre dos puntos separados en forma de espacio y - los dos puntos son simultáneos en nuestras coordenadas por lo que . Para medir la distancia dibujas una línea recta entre los puntos e integras a lo largo de ella En el espacio plano la integral simplemente da:
que deberías reconocer porque es solo el teorema de Pitágoras en 3D.
Entonces, si está tratando de medir el tamaño de una dimensión compacta, comience configurando sus coordenadas locales y luego simplemente trace una ruta paralela a la dimensión que desea medir. Si la dimensión es compacta, la ruta volverá a sus coordenadas espaciales originales y medirá su longitud simplemente integrando a lo largo de ella
No soy un experto en este tema en particular, pero creo que puedo responder a su pregunta.
Hay diferentes tipos de "dimensiones". Las 3 dimensiones espaciales estándar en las que vivimos son infinitas en extensión. Sin embargo, también se pueden imaginar dimensiones que tienen una periodicidad (como un círculo). En tales casos, hay un "tamaño" en la dimensión que se refiere a la distancia que puede trasladar antes de volver al punto de partida. Por ejemplo, en un círculo si rotamos por entonces llegamos de nuevo a entonces podemos pensar que el círculo tiene un "tamaño" de .
Por lo tanto, las dimensiones pequeñas son aquellas que se curvan sobre sí mismas, de modo que la "longitud" total que puede mover a lo largo de las dimensiones es "pequeña" (no estoy seguro de cómo cuantificar lo pequeño aquí).
A partir de esto, ahora vemos de dónde proviene la analogía habitual de la hormiga y el cable telefónico. Sin embargo, la analogía solo puede llevarse hasta cierto punto porque, como usted señaló, la hormiga y el cable telefónico existen en un espacio tridimensional que permite la curvatura y la periodicidad del cable. Este tipo de curvatura se llama curvatura extrínseca ya que las curvas están incrustadas en un espacio más grande. El tipo de dimensiones periódicas que son pequeñas son intrínsecamente curvas, lo que significa que es la dimensión misma la que está curvada, no los objetos dentro de ella.
Jean-Michel Tengang