Proyectil en un plano inclinado [cerrado]

Question

Proyectil en un plano inclinado [cerrado]

Juan Valjean

Supongamos que tiene el problema clásico de un proyectil que va a 10 m/s a 15 grados de un plano que ya está inclinado a 30 grados (por lo que el ángulo del proyectil con respecto a la Tierra es de 45 grados), y se le pregunta por el tiempo que estuvo el proyectil. en el aire.

Mi pregunta no es simplemente cómo trabajarlo, sino por qué una forma de trabajar no funciona.

Imagina que uno inclinara la cabeza 30 grados, de modo que la "colina" ya no esté inclinada sino que ahora sea tierra plana. Independientemente de cómo incline la cabeza, la aceleración de la Tierra de 9,8 m/s/s estará apuntada con un sesgo de 30 grados con respecto a la perpendicular a la colina. Sin embargo, es lógico que pueda "convertir" la aceleración de la tierra para que coincida con el vector normal de la colina.

En la nueva perspectiva, la "fuerza hacia abajo" de la gravedad (perpendicular a la colina) ahora es de 8,49 m/s/s, y ahora hay una aceleración horizontal tirando hacia la izquierda de 4,9 m/s/s. También tiene que convertir su velocidad inicial de 10 m/s con una inclinación de 15 grados dando una velocidad "hacia abajo" de 2,59 m/s.

Ahora conoce la aceleración (8,49 m/s/s), la velocidad (2,59 m/s) y su cambio en la "altura"/distancia desde la superficie de la colina (0 m). Como necesitas tiempo en el aire, puedes usar la ecuación cinemática:

Δ X = V_{i} T + \frac{1}{2} a T^{2}

$\Delta x = V_iT + \frac 1 2 aT^2$

Resolver esta ecuación da la respuesta incorrecta. No entiendo por qué este enfoque no funciona teniendo en cuenta que todo lo que estoy tratando de encontrar es el tiempo de emisión, no el desplazamiento. Lo que esperaría que esté mal es la conversión de la aceleración gravitacional de la inclinación, pero no puedo encontrar el problema allí. No estoy preguntando cómo resolver mejor el problema, estoy preguntando por qué este método no funciona.

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Gert · Answer 1

Lo que estás tratando de hacer se llama una transformación del sistema de coordenadas (específicamente una rotación).

En el nuevo sistema de coordenadas, que se muestra como el $xy$ -eje, la línea de inclinación se convierte en el $x$ -eje y la Normal a eso, la $y$ -eje. Elegimos como origen $(0,0)$ del nuevo sistema de coordenadas el inicio de la pendiente.

Como resultado, el vector de aceleración de la Tierra $\vec{g}$ ahora tiene que ser descompuesto en los componentes:

{gramo}_{y} = gramo porque ϕ

$g_y=g\cos\phi$

{gramo}_{X} = gramo pecado ϕ

$g_x=g\sin\phi$

De manera similar, el vector de velocidad inicial $\vec{v}_0$ tiene que ser descompuesto:

v_{0, y} = v_{0} pecado (θ_{i} - ϕ)

$v_{0,y}=v_0\sin(\theta_i-\phi)$

v_{0, X} = v_{0} porque (θ_{i} - ϕ)

$v_{0,x}=v_0\cos(\theta_i-\phi)$

El $y$ -componente de la velocidad ahora se puede escribir como:

\begin{matrix} (1) & v_{y} = v_{0, y} - {gramo}_{y} t = v_{0} pecado (θ_{i} - ϕ) - gramo (porque ϕ) t \end{matrix}

$v_y=v_{0,y}-g_yt=v_0\sin(\theta_i-\phi)-g(\cos\phi)t\tag{1}$

Y el $x$ -componente:

\begin{matrix} (2) & v_{X} = v_{0} porque (θ_{i} - ϕ) - gramo (pecado ϕ) t \end{matrix}

$v_x=v_0\cos(\theta_i-\phi)-g(\sin\phi)t\tag{2}$

Usar $(1)$ para encontrar el tiempo donde $v_y$ se convierte $0$ . Debido a la simetría, esto es la mitad del tiempo de vuelo .

Ecuación $(2)$ aun no te da el displacenent $x$ : necesita ser integrado al tiempo $t$ una vez para obtener $x(t)$ , Luego inserte el tiempo total de vuelo en esa expresión, para obtener $d$ .

Entonces, su idea es factible, pero queda por ver si tal derivación es realmente más simple que hacerlo en el sistema vertical-horizontal original.

huzaifa abedeen · Answer 2

El tiempo de vuelo de un proyectil en un plano inclinado hacia arriba depende de

ángulo de inclinación del plano
ángulo de proyección del
aceleración debida a la gravedad $g$

T = \frac{2 tu pecado (θ - ϕ)}{gramo porque ϕ}

$T=\dfrac{2u\sin \left( \theta -\phi \right) }{g\cos \phi }$

= \frac{2 \cdot 10 pecado {(45 - 30)}^{\circ}}{9.8 porque 30^{\circ}}

$=\dfrac{2\cdot 10\sin \left( 45-30\right)^{\circ } }{9.8\cos 30^{\circ }}$

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Juan Valjean

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Gert

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