¿Por qué la gravedad de Einstein no es renormalizable en dos bucles o más?

tienes toda la razón en que la gravedad de Einstein no se puede volver a normalizar mediante el conteo de potencia. Sin embargo, tenga cuidado, esta no es una prueba rigurosa, es una mera estimación. De hecho, no hay pruebas hasta la fecha que demuestren de una vez por todas que la gravedad realmente no es renormalizable. Si piensas en términos de diagramas de Feynman (que son una pesadilla para la gravedad de Einstein), podría haber cancelaciones no triviales ocultas dentro de la suma del gráfico que controlan las divergencias. También podría ser que los contratérminos potenciales estén relacionados por alguna simetría no obvia, de modo que al final solo sea necesario un número finito de redefiniciones de campo para deshacerse de las divergencias, o en otras palabras, que sea necesaria una implementación sensata de la renormalización. posible. En realidad, Zvi Bern y sus amigos están abordando actualmente la cuestión de la finitud de los rayos ultravioleta, quienes podrían demostrar mediante técnicas sofisticadas que la gravedad cuántica supersimétrica máxima es mucho menos divergente de lo que uno pensaría ingenuamente. Las palabras de moda aquí son la dualidad cinemática de color y la construcción de doble copia, que básicamente dice que una amplitud de dispersión de la gravedad es, en cierto sentido, el cuadrado de una amplitud de la teoría de calibre. Revisa el arxiv, hay una plétora sobre esto.

Ahora, con respecto al conteo de potencia, el razonamiento es más o menos el siguiente: la acción EH es básicamente

$$\mathcal{L} = \frac{1}{\kappa} \int d^4x \sqrt{-g}R$$ con $g$el determinante de la métrica del espacio-tiempo $g^{\mu\nu}$. La dimensión de masa del escalar de Ricci $R$es $[m^2]$, el de la medida integral $[m^{-4}]$, es decir, para que toda la expresión sea adimensional $\kappa$tiene que tener dimensión de masa $[m^{-2}]$. Si ahora realiza una expansión perturbativa alrededor de un fondo plano de la métrica, encontrará en cada paso más y más potencias de uno sobre $\kappa$. Gráficamente, esta expansión es una expansión en el número de bucles en los diagramas de Feynman. En cada paso, es decir, en cada nivel de bucle, la expresión completa debe ser adimensional, es decir, en cada paso necesita más y más potencias de impulso de bucle (en cada nivel de bucle, dos potencias más, para ser precisos), al final sus expresiones se convierten en cuanto más divergente, más alto vas en la expansión perturbadora. Para cancelar estas divergencias siempre enfermizas, tendría que introducir una cantidad infinita de contratérminos que, en términos de renormalización, no tiene sentido, por lo tanto, esta teoría es no renormalizable por potencia.

Hay buenas notas de conferencias sobre esto, cf http://arxiv.org/abs/1005.2703 (Notas de Lance Dixon sobre la supergravedad, pero la introducción es bastante general).