¿Cuál es una buena descripción matemática de la no renormalizabilidad de la gravedad?

¿Qué tal una descripción en palabras en su lugar? Creo que las matemáticas no son tanto el punto. Otras respuestas exponen la mecánica en detalle. La respuesta breve es que la teoría tiene un número infinito de divergencias que no pueden absorberse fijando un número finito de acoplamientos a sus valores observados. Esto significa que no es predictivo o, en palabras más elegantes, no proporciona compresión algorítmica: la cantidad de entrada que requiere es igual a la cantidad de salida que produce.

Pero la charla sobre las divergencias enmascara la física de la situación, que intentaré describir:

Cualquier teoría tiene acoplamientos que describen las posibles interacciones del sistema. Cuando prueba el sistema en diferentes escalas de longitud o escalas de energía, esos acoplamientos cambian de una manera calculable. Este es el proceso de renormalización, que fundamentalmente no tiene nada que ver con infinitos.

La teoría renormalizable es aquella que se puede continuar a altas energías, o distancias cortas, sin encontrar ninguna dificultad. Esto significa que todos los acoplamientos siguen siendo pequeños y todos los cálculos son fiables. En las teorías no renormalizables, cuanto más altas son las energías que prueba el sistema, más fuertes se vuelven los acoplamientos, en algún momento se vuelven infinitos. Esto significa que no puede hacer cálculos confiables, lo que normalmente es una indicación de que hay algunos efectos físicos que le faltan. Hay muchos ejemplos en los que tales efectos físicos se entienden bien, por ejemplo, los nuevos grados de libertad (que no son visibles a bajas energías) se vuelven importantes en esas escalas de energía.

En gravedad, cuando calculas en la teoría de perturbaciones, para pequeñas perturbaciones alrededor del espacio plano, parece que el acoplamiento se vuelve fuerte y falta algo. La mecánica de ver esto es sencilla y no tan esclarecedora. Quizás una forma intuitiva de entender esto es que en la gravedad el acoplamiento de interacción está gobernado por la energía, por lo que casi por definición crece con la energía... El escenario más probable es que necesitemos nuevos grados de libertad para completar la teoría en distancias cortas. Una sugerencia para la "completación UV" es la teoría de cuerdas.

Hay otro escenario que puede aplicarse a la gravedad. Una vez que los acoplamientos se vuelven fuertes, ya no se puede calcular nada de manera más confiable, y eso incluye su dependencia de escala. Por lo tanto, es una posibilidad lógica que se estabilicen en algún valor finito y no lleguen hasta el infinito. Este escenario se denomina seguridad asintótica. En mi opinión, esto es muy poco probable y no hay indicios* de que este escenario se aplique a la gravedad, pero sigue siendo una posibilidad lógica.

(*Conozco las diversas afirmaciones, esta es una declaración de mi opinión personal).

Una de las formas más simples que conozco para ver la no renormalización de la gravedad es notar que la constante de acoplamiento en este caso (la constante de Newton$G$) está lleno de dimensiones con dimensiones de$L^2$.

La acción para GR es de la forma:

Cuando tratamos de expandir esta acción como una serie de potencias en$1/G$vemos que cada término adicional tiene una potencia extra de$1/L^2 \sim k^2$, haciendo que la integración sobre momentos sea divergente en cada término.

Esto contrasta con QED donde la constante de acoplamiento es la constante de estructura fina$\alpha = e^2/\hbar c \sim 1/137$que es un número adimensional.

Editar: para obtener una cuenta más completa e informada, consulte la respuesta de @Lawrence a continuación.

El número de divergencias no es finito. En QED y otras teorías YM, las divergencias son finitas y pueden absorberse en la renormalización de la carga de masa o calibre. Las reglas para anulaciones de anomalías pueden establecerse también en una descripción finita.

Con la gravedad cuántica en una configuración QFT tiene una dependencia de momento cuadrático en el vértice del gravitón$V[k]~\sim~k^2$. Esto se debe a la forma que toma la acción en una expansión de la densidad métrica${\tilde g}_{\mu\nu}~=~g^{1/2}g_{\mu\nu}$con

Un diagrama general de Feynman también tendrá líneas internas$I[k]~\sim~1/k^2$y bucles con$L[k]~\sim~\int^kd^4p$. Entonces, la parte interna de un diagrama de Feynman tendrá líneas internas, vértices y bucles. La característica de Euler para un gráfico

Como se señaló anteriormente, la constante gravitatoria tiene unidades de$[G]~=~Area$, que difiere de la constante de estructura fina$\alpha~=~e^2/\hbar c$y otros acoplamientos de calibre que no tienen unidades. El contenido dimensional de la constante gravitacional está relacionado con el problema de los vértices cuadráticos. El interés en la holografía y la correspondencia AdS/CFT radica en cómo la gravedad en un espacio AdS con curvatura gaussiana negativa puede ser reemplazada por un campo cuántico en el límite. Entonces, la divergencia en una teoría ingenua de la gravedad QFT puede sustituirse por una teoría fibrosa en el límite de un espacio donde estas divergencias no existen.

La forma simplificada de entender la no renormalización de la gravedad es darse cuenta de que uno necesita hacer un número infinito de escalas infinitas que no son posibles. En general, si el número de contratérminos en el lagrangiano necesarios para cancelar las divergencias es infinito, entonces el proceso de renormalización falla.

A menudo, las correcciones perturbativas infinitas son un signo de un "mal comienzo" en la teoría de la perturbación (siempre que las ecuaciones exactas sean correctas). En física, a menudo también se parte de ecuaciones incorrectas y "repara" las soluciones incorrectas "sobre la marcha", por ejemplo, descartando infinitas correcciones a las constantes fundamentales. "Funciona" solo en el caso de hamiltonianos de "perturbación" muy simples. En GR no es el caso (como en muchos otros QFT no renormalizables).