¿Por qué la energía potencial de un resorte es la misma cuando se comprime y se estira?

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¿Por qué la energía potencial de un resorte es la misma cuando se comprime y se estira?

primavera
Física
educación
energía potencial
mecanica-newtoniana

rosafloyd

Estoy dando una conferencia en la escuela secundaria y quiero presentarles la energía potencial de un resorte. Mis alumnos no han aprendido la Ley de Hooke y la noción de integral es demasiado avanzada. Realmente estoy tratando de justificar con un argumento que agita la mano que la energía es dada por

tu = \frac{1}{2} k d^{2} .

$U = \frac{1}{2}kd^2.$

Para hacerlo, dejo que se den cuenta de que estirar/comprimir el resorte cambiará su energía. Entonces, esto me permite justificar por qué solo depende de las propiedades del resorte capturado por $k$ y la deformación $d$ .

Luego, al observar las unidades de energía, deben darse cuenta de que la deformación $d$ tiene que ser elevado al cuadrado y que la constante $k$ se encarga de las unidades restantes.

Pero si un estudiante argumenta que $k$ podría definirse con otras unidades de modo que la dependencia en $d$ es lineal, podría responder que la energía debe ser idéntica ya sea que el resorte se estire/comprima de modo que solo $|d|$ o $d^{2n}$ son posibles soluciones. ya veo como justificar eso $|d|$ no es una solución física porque crearía una cúspide en la energía en $d=0$ y eso a la naturaleza no le gusta eso (al menos a su nivel). Adicionalmente, tener $n=1$ es sólo el caso más simple.

Por lo tanto, mi argumento faltante es cómo justificar que la energía es la misma cuando un resorte se estira/comprime por $d$ .

Por favor, mantenga las respuestas ligeras en las matemáticas.

pedro a

¿Qué quiere decir con una discontinuidad en

d = 0

$d = 0$ ? La función

| d |

$|d|$ es continuo allí, no hay problema. No es diferenciable... Pero es continuo, así que quizás tengas que explicarlo un poco más. Sugerencia para agitar las manos: a la naturaleza no le gustan las "cúspides".

mick

"Pero si un estudiante argumenta que kk podría definirse con otras unidades para que la dependencia en dd sea lineal", si las integrales son demasiado avanzadas y aún no han cubierto la Ley de Hooke, ¿qué tan probable es una pregunta como esta? Estoy de acuerdo con los demás, la Ley de Hooke F = kx, vale los pocos segundos.

rosafloyd

@Hamsteriffic, tienes razón, quise decir que la derivada es discontinua... Esto se reduce al mismo argumento de que a la naturaleza "le gusta la suavidad" (al menos en la mecánica clásica)

alefcero

¡ Esto ni siquiera depende del aspecto de linealidad de la ley de Hooke! Sólo requiere que la fuerza

F (x)

$F(x)$ es una función impar del desplazamiento

x

$x$ , no es una función lineal . Eso es todo lo que necesitas para demostrar que

\int_{0}^{u} F (x) d x = \int_{0}^{- u} F (x) d x

$\displaystyle \int_0^u F(x)\, dx = \int_0^{-u} F(x)\, dx$ para cualquier

u

$u$ .

alefcero

"Pero si un estudiante argumenta que k podría definirse con otras unidades...", lo siento, pero no puedo ver nada de matemáticas a partir de ese momento. Sin embargo, puedo ver muchas tonterías pseudomatemáticas.

jwg

Este es el problema XY. Ha comenzado a justificar esa fórmula utilizando varias ideas malas en lugar de una idea correcta, la ley de Hooke. Ahora quiere ayudar a demostrar uno de estos pasos, que no es necesariamente cierto. Esto no conducirá eventualmente a una respuesta adecuada. Su verdadero problema es comprender y explicar la ley de Hooke.

Meni Rosenfeld

De acuerdo con @jwg. Creo que les está haciendo un flaco favor a sus estudiantes con su enfoque. La energía del resorte es cuadrática porque al aumentar

d

$d$ aumenta tanto la fuerza media como la distancia. Es mejor enseñarles eso, que inculcarles la noción de que la física es solo un montón de conceptos aleatorios y no relacionados en los que simplemente inventa cosas a medida que avanza. No estoy seguro de por qué querrías discutir la energía de un resorte si los estudiantes ni siquiera saben lo más básico sobre la fuerza de un resorte.

Respuestas (8)

¿Por qué la energía potencial de un resorte es la misma cuando se comprime y se estira?

¿Qué quiere decir con una discontinuidad en $d = 0$ ? La función $|d|$ es continuo allí, no hay problema. No es diferenciable... Pero es continuo, así que quizás tengas que explicarlo un poco más. Sugerencia para agitar las manos: a la naturaleza no le gustan las "cúspides".
"Pero si un estudiante argumenta que kk podría definirse con otras unidades para que la dependencia en dd sea lineal", si las integrales son demasiado avanzadas y aún no han cubierto la Ley de Hooke, ¿qué tan probable es una pregunta como esta? Estoy de acuerdo con los demás, la Ley de Hooke F = kx, vale los pocos segundos.
@Hamsteriffic, tienes razón, quise decir que la derivada es discontinua... Esto se reduce al mismo argumento de que a la naturaleza "le gusta la suavidad" (al menos en la mecánica clásica)
¡ Esto ni siquiera depende del aspecto de linealidad de la ley de Hooke! Sólo requiere que la fuerza $F(x)$ es una función impar del desplazamiento $x$ , no es una función lineal . Eso es todo lo que necesitas para demostrar que $\displaystyle \int_0^u F(x)\, dx = \int_0^{-u} F(x)\, dx$ para cualquier $u$ .
"Pero si un estudiante argumenta que k podría definirse con otras unidades...", lo siento, pero no puedo ver nada de matemáticas a partir de ese momento. Sin embargo, puedo ver muchas tonterías pseudomatemáticas.
Este es el problema XY. Ha comenzado a justificar esa fórmula utilizando varias ideas malas en lugar de una idea correcta, la ley de Hooke. Ahora quiere ayudar a demostrar uno de estos pasos, que no es necesariamente cierto. Esto no conducirá eventualmente a una respuesta adecuada. Su verdadero problema es comprender y explicar la ley de Hooke.
De acuerdo con @jwg. Creo que les está haciendo un flaco favor a sus estudiantes con su enfoque. La energía del resorte es cuadrática porque al aumentar $d$ aumenta tanto la fuerza media como la distancia. Es mejor enseñarles eso, que inculcarles la noción de que la física es solo un montón de conceptos aleatorios y no relacionados en los que simplemente inventa cosas a medida que avanza. No estoy seguro de por qué querrías discutir la energía de un resorte si los estudiantes ni siquiera saben lo más básico sobre la fuerza de un resorte.

JMac · Answer 1

JMac

Una forma es explicar cómo funciona realmente un resorte.

Un resorte helicoidal es un alambre grande que se enrolla en forma de hélice. Cuando comprime o extiende un resorte, desde la perspectiva del cable, en realidad no está empujando ni doblando. En cambio, estás torciendo el cable de una forma u otra.

Girar una barra en sentido horario o antihorario debería ser lo mismo.

Pablo Sinclair

Su publicación es a propósito de los resortes helicoidales . Hay otras formas de resortes que se doblan, no se tuercen. De hecho, una barra anclada en un extremo es una forma de resorte muy común. Por supuesto, para los propósitos de OP, mirar solo los resortes helicoidales es aceptable (y tal vez preferible).

JMac

@PaulSinclair Buen punto. Puede hacer esto con cualquier sistema diseñado apropiadamente siempre que se comporte como un "resorte". Simplemente encuentro que los resortes helicoidales son el ejemplo más fácil, donde todos los han visto y entienden aproximadamente lo que hacen.

Todd Wilcox

También podría ser útil recordar que todas las fórmulas que usamos en física son en realidad modelos que se aproximan lo suficiente al mundo real como para que podamos usar los resultados que nos dan los modelos para hacer cosas, como construir máquinas que funcionen y realizar tareas con esas máquinas. Los modelos/fórmulas no deben tomarse para indicar el comportamiento exacto y real de nada.

gilberto · Answer 2

Desafortunadamente, no hay una razón física por la que la energía deba ser la misma en +d y -d, porque en general no lo es. Todos los resortes serán no lineales y no simétricos si los estira lo suficiente. La razón por la que podemos escribir $F=-kx$ es que siempre puede linealizar la fuerza para desplazamientos suficientemente pequeños, y luego simplemente asume que está trabajando en el régimen lineal. Es posible que solo tenga que afirmar a los estudiantes que para desplazamientos lo suficientemente pequeños, las energías son las mismas en cada dirección. Alternativamente, podría usar otro sistema para el cual no habría razón para creer que las energías no son simétricas, como un péndulo.

Un aspecto que podría mencionar es que la energía potencial de una partícula está relacionada con la fuerza que siente la partícula (ya que matemáticamente la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial). Este punto es poderoso para los argumentos intuitivos. Por ejemplo, puede argumentar que la energía no debería ser |d| porque entonces la fuerza restauradora sería la misma ya sea que el resorte se estire un poco o mucho, lo que parece irrazonable.

Si es posible, también podría hacer que los estudiantes prueben esto con un resorte en el salón de clases, sintiendo la fuerza manteniendo el resorte desplazado en diferentes cantidades en cualquier dirección para que comprendan la idea de que la fuerza es simétrica en cualquier lado del equilibrio. punto y que aumenta a medida que tira (o empuja más).

Hay una razón física por la que es lineal, por cierto. Generalmente con un resorte estás deformando elásticamente el material. Dependiendo del material utilizado, en realidad hay una parte bastante grande de la relación tensión-deformación que es muy lineal. Suponiendo que esté dispuesto a ignorar los errores muy pequeños debido a los efectos secundarios de la tensión y las imperfecciones del material, existen razones físicas establecidas por las que son lineales en el rango operativo.
@JMac ¡Buen punto! Sabía que había una razón por la cual los resortes son generalmente bastante lineales, pero no podía señalarlo. Sin embargo, ¿quizás sea un poco sutil para los estudiantes?
La simetría energética (para un estiramiento suficientemente pequeño) es bastante física: un resorte en reposo está en equilibrio, por lo que el término principal en una expansión de Taylor no puede ser sino lineal (aunque eso podría desaparecer)
@TobiasKienzler Sí, estoy de acuerdo. Desafortunadamente, no hay ninguna razón física por la que la energía deba ser simétrica para todo +d y -d, porque podría elegir que d esté en el régimen no lineal en general.
@Gilbert estuvo de acuerdo: en realidad, es lo contrario, solo puede comprimir un resorte una pequeña cantidad en comparación con el cable recto potencial con el que podría terminar tirando (a menos que se rompa antes). Pero parece que ambos somos conscientes del descargo de responsabilidad de la Ley de Hooke "Advertencia: puede que solo sea válido para pequeños desplazamientos"

digiproc · Answer 3

Esta es realmente una cuestión de práctica versus teoría. Cualquier resorte en realidad lo harátienen un efecto no lineal. Pero en teoría lo ignoramos por una comprensión básica. Entonces asumimos que es lineal. Aquí hay algunas formas de abordar esto: si el cuerpo del resorte está oculto a sus ojos y todo lo que tiene acceso es un mango móvil conectado al extremo libre del resorte (oculto), entonces no puede saber de qué manera se distorsiona el resorte. (estirar o comprimir) cuando mueves esa manija, se necesita la misma cantidad de energía para distorsionarla la misma distancia. Además de eso, considere que una sección corta del resorte (por ejemplo, una sección corta del alambre del resorte, asumiendo un resorte helicoidal), se dobla en una dirección cuando el resorte se estira y en la otra cuando se comprime. Doblar una pieza de metal comprime un lado y estira el otro, o estira un lado y comprime el otro. Si el resorte es homogéneo,

Me gusta la última parte de tu argumento con la sección corta de un resorte...
"no se puede saber de qué manera se distorsiona el resorte (estirar o comprimir) cuando mueve esa manija": para cualquier resorte plausible del mundo real (helicoidal), tiendo a estar en desacuerdo. Mover la manija en la dirección que comprime el resorte eventualmente tendrá un tope donde el resorte alcanza la compresión máxima. Mover la manija en la otra dirección no encontrará tal cosa, al menos no mientras el resorte siga siendo un resorte. Sería imposible saber si el rango de movimiento del mango está restringido a algo que funciona igual de bien en ambas direcciones, pero ese aspecto del diseño no está estipulado.

Yakk · Answer 4

Tus alumnos tienen razón. Sin la ley de Hooke, los resortes almacenarían energía linealmente.

Es decir, si la fuerza para extender o comprimir una cuerda fuera constante independientemente de qué tan lejos del "reposo" esté el resorte, terminaría con k|d| energía almacenada al mover un resorte d distancia.

Y un dispositivo similar a un resorte que se comporta de esa manera es físicamente posible y razonable (en una aproximación bastante buena). Si su argumento no respeta este hecho, su argumento es incorrecto, y cualquier convencimiento de sus estudiantes que logre es un error.

Esto, sin embargo, es una oportunidad. Escriba dos ecuaciones diferentes para la energía almacenada en un resorte, una con |d| y uno con d^2.

Averigua cómo determinarías cuál es más correcto. ¿Qué predice cada ecuación?

Supongo que saben que energía = fuerza por distancia. Con |d| debe poder demostrar que un pequeño cambio de distancia cerca del "reposo" y un pequeño cambio de distancia "lejos del reposo" deben implicar la aplicación de la misma cantidad de fuerza.

Con d^2 este no es el caso; un movimiento de pequeña distancia cerca del reposo requerirá menos fuerza que uno lejos del reposo.

Así que ahora tenemos una predicción:

Si E ~ k|d|, entonces la fuerza que aplica un resorte cerca del reposo es la misma que la fuerza que aplica un resorte lejos del reposo.
Si E ~ kd^2, entonces la fuerza que aplica un resorte cerca del reposo es mucho menor que la fuerza que aplica un resorte lejos del reposo.

Podría ir más allá y calcular en el caso d^2, la fuerza es aproximadamente proporcional a d, pero no es necesario. ¹

Ahora, toma dos resortes. Coloque uno cerca del descanso. Coloque uno lejos del resto. Adjúntelos de modo que el que está lejos del reposo intente alejar del reposo al que está cerca.

Si |d| la hipótesis es correcta, este sistema debería estar en equilibrio, ya que ambos resortes aplican la misma fuerza.

Si la hipótesis d ^ 2 es correcta, el sistema no lo es, y el que está lejos del reposo debería tirar del que está cerca del reposo.

Y hecho. Acabamos de demostrar experimentalmente que |d| no es cierto, y que d ^ 2 es al menos consistente con las observaciones. (No hemos probado que d ^ 2 sea correcto , eso requiere más trabajo).

¹ Supongamos que la energía de un resorte = 10 J * (d / 1 m)^2.

La energía a 1 cm y 2 cm es de 0,0001 J y 0,0004 J, lo que nos da aproximadamente 0,0003 J delta.

La energía a 1,01 m y 1,02 m es 1,0201 J y 1,0404 J, lo que nos da aproximadamente 0,0203 J delta.

La energía a 2,01 y 2,02 m es 4,0401 y 4,0804 J, lo que nos da una delta de 0,0403 J.

Si dividimos el delta J por la distancia promedio de estas ubicaciones de prueba, obtenemos F ~ 0.02 * d N/m suponiendo que la fuerza no varía en distancias pequeñas.

Como se señaló, este no es un requisito para el argumento anterior.

Gracias por tu respuesta, pero creo que te perdiste el punto de mi pregunta... Sé cuál es la teoría y cómo funciona la primavera. Solo estaba dispuesto a encontrar una explicación simple (que no involucre una ecuación) sobre por qué la energía potencial de un resorte es la misma cuando se estira/comprime. No estaba tratando de argumentar en contra de mis alumnos. Todavía no he dado esa conferencia este año.
Me gusta cómo esta respuesta da la vuelta al problema y considera cómo algo con E ~ k |d| se comportaría, y cómo es diferente de lo que sabemos acerca de cómo se comportan cualitativamente los resortes.
Me gusta cómo esta respuesta se relaciona con la física real en lugar de la sabiduría recibida.

Abhinava Dhawan · Answer 5

No se si estoy en lo cierto, pero lo que me viene a la cabeza es lo siguiente:

Puede decirles que tomen (imaginen) dos resortes idénticos y que se pongan en contacto entre sí por un lado y se unan a las paredes por los otros lados. Ahora aplique fuerza en el punto de contacto de los resortes horizontalmente, de modo que uno se estire y el otro se comprima.

Ahora, la distancia por la cual los resortes han sido comprimidos es la misma. Además, el trabajo realizado en ambos es el mismo (sumando todas las fuerzas, incluida la fuerza del resorte entre sí), lo que implica que la energía almacenada o energía potencial es la misma.

Corríjame si me equivoqué en alguna parte o ignoré algo.

Gracias.

Te equivocaste al suponer que el trabajo realizado en ambos es el mismo. Necesita probar esta suposición.
No quiero usar matemáticas en mi respuesta o una justificación formal, pero creo que se puede probar fácilmente considerando que cada resorte recibe la acción de una fuerza de resorte debido a otro resorte y fuerza aplicada por nosotros. Además, el desplazamiento es exactamente el mismo, lo que implica que el trabajo realizado en ambos resortes es igual.
Imagina que uno es un resorte mucho más rígido, ahora el desplazamiento es el mismo pero el trabajo no es igual. ¿Cómo sabes que eso no es cierto también para resortes idénticos? Probablemente porque estabas pensando en la ley de Hooke, pero no puedes asumir la ley de Hooke para justificar la ley de Hooke.

dariop · Answer 6

¡Estás yendo demasiado lejos con la navaja de Occam! Para esta física tan básica lo mejor es hacer pequeños experimentos en vivo y dejarlo a la autoridad de la Naturaleza.

Tome un resorte, cuélguelo en algún lugar y estírelo a cierta distancia. $d$ con algo de peso $W$ . El trabajo realizado por la carga es: $d\times W = U$ . al medir $d$ por unos pocos $W$ y luego computar $U$ puede verificar fácilmente la dependencia cuadrática al alargar el resorte.

¿Qué hay de negativo? $d$ ? Para eso necesitamos repetir el experimento comprimiendo el resorte. Fijando el resorte a una superficie y cargando pesos en la parte superior, puede encontrar fácilmente la misma dependencia cuadrática.

Finalmente, el punto clave es que ya sea que el resorte esté comprimido o alargado, la fuerza y el desplazamiento siempre tienen el mismo signo (positivo o negativo), por lo tanto, siempre tenemos trabajo positivo en el resorte y energía positiva almacenada en él.

usuario16035 · Answer 7

Si quiere evitar el cálculo, bríndeles una comprensión geométrica: grafique el $F vs. x$ e indica que la energía es el área entre el eje x y la curva. Todos saben el área de un triángulo (por lo tanto $1/2kx^2$ )

Sin embargo...

La expresión depende del resorte. Algunos resortes son de fuerza constante (resortes de fuerza constante), por lo que la expresión de la energía potencial no sería cuadrática.

Entonces, la mejor manera de evitar las matemáticas es simplemente afirmar que la ley de Hook es válida para la mayoría de los resortes, para pequeñas cantidades de estiramiento. Si te preguntan por qué la energía es la misma en compresión que en tracción, simplemente diles que hay resortes para los que esto no es cierto.

jahan claes · Answer 8

Simplemente dibuje un gráfico de "longitud del resorte" frente a "fuerza ejercida". Con suerte, estarán de acuerdo en que si el resorte se ha estirado una distancia de cero, no ejercerá fuerza. Con suerte, también estarán de acuerdo en que si estiras el resorte en la dirección positiva, la fuerza es negativa y viceversa. Y con suerte estarán de acuerdo en que si aumenta la distancia estirada, aumentará la fuerza. Por lo tanto, debería poder lograr que estén de acuerdo en que el gráfico se ve así:

La forma precisa de la fuerza no importa, solo la forma general. Luego diga: "Nos centraremos en lo que sucede cuando el resorte solo se estira un poco". Y luego dibuja la línea tangente en cero:

Con suerte, todos estarán de acuerdo, solo por la imagen, en que esta es una buena aproximación cuando el desplazamiento es pequeño. Entonces puedes decir que, en esta aproximación, la fuerza ejercida por el resorte es claramente igual y opuesta cuando el resorte está comprimido o cuando está estirado. Por lo tanto, el resorte debería almacenar la misma cantidad de energía. Esta es una forma amable de presentar la idea de una expansión de Taylor de primer orden, que es en lo que se basa la ley de Hooke, pero de una manera que es fácil de entender gráficamente. Es mucho más fácil de entender que una aproximación de Taylor de segundo orden a la energía, ya que no es obvio por qué querrías aproximar las cosas mediante parábolas si nunca has visto una serie de Taylor. Pero'

Tu argumento es que si la fuerza del resorte es simétrica y suave, se puede linealizar. Sin embargo, la pregunta es cómo justificar que la fuerza es simétrica.
@Pere No necesita asumir que la fuerza es simétrica, solo que es suave. ¡Las funciones no simétricas todavía tienen expansiones de Taylor!
@Pere Sin embargo, es cierto que podría ser mejor dibujar algo obviamente no simétrico en el tablero. Los gráficos que mostré parecían demasiado simétricos.

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