¿Por qué la energía cinética para velocidades no relativistas no está descrita por KE=mc2KE=mc2KE=mc^2?

Debe restar la energía en reposo de la energía total para obtener la energía cinética, de modo que la energía cinética sea cero para un cuerpo en reposo. En otras palabras,

$$\text{KE} = (\gamma-1)mc^2.$$ Encontrará que esta expresión se reduce a$\frac{1}{2}mv^2$a bajas velocidades.

(Originalmente, tenía la intención de publicar esto como una respuesta a su pregunta de seguimiento, ¿ Por qué la fórmula de energía cinética relativista da resultados incorrectos para velocidades no relativistas? , pero como ahora está cerrado, lo publicaré aquí).

Como ya se mencionó, en su cálculo de energía cinética se olvidó de restar el resto de masa-energía de la energía total. Así que tú necesitas$\gamma-1$en esa ecuación, no$\gamma$.

Dejar$E_N$Sea la energía cinética newtoniana, y$E_R$Sea la energía cinética relativista. Entonces

$$E_N=\frac12 mv^2$$ $$E_R=(\gamma-1)mc^2$$

Cuando$v=0$,$\gamma=1$y$E_N=E_R=0$, por lo que las dos ecuaciones concuerdan claramente. Para pequeños$v>0$, esperamos$E_N\approx E_R$, entonces

$$\frac12 mv^2 \approx (\gamma-1)mc^2$$ $$v^2/c^2 \approx 2(\gamma-1)$$ Dejar$\beta=v/c$. Queremos mostrar que para$v \ll c$, $$q=\frac{\beta^2}{\gamma-1} \approx 2$$

Ahora

$$1/\gamma^2=1-\beta^2$$ Entonces $$\beta^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$$ Por eso $$q=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2(\gamma-1)}$$ $$q=\frac{\gamma+1}{\gamma^2}$$

Para pequeños$\beta$,$\gamma\approx 1$, y tambien$\gamma^2$, entonces

$$q\approx \frac{1+1}{1}=2$$

Aquí hay un gráfico semi-logarítmico de$q$contra$\beta$. Como se puede ver,$q$permanece cerca de 2 hasta$\beta$se vuelve bastante grande.

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Como se indica en su pregunta de seguimiento, puede encontrarse con errores de redondeo al intentar calcular$\gamma$,$\gamma-1$o$q$, a menos que esté usando aritmética de precisión arbitraria. Sin embargo, con un poco de álgebra es posible obtener buenas aproximaciones para estas cantidades usando funciones aritméticas estándar en un lenguaje de programación o una calculadora que admita notación científica. (Incluso puede obtener resultados razonables con una calculadora simple sin notación científica, solo tiene que ajustar los lugares decimales manualmente para mantener los números dentro del rango). Podríamos hacer esto usando métodos de cálculo, como las expansiones de la serie de Taylor, pero hay una forma más sencilla.

La cuestión central es cómo obtener un valor exacto de$\gamma-1$cuando$\beta$es pequeño. La relación entre$1/\gamma$y$\beta$es pitagórico, y podemos usar una fórmula pitagórica simple para simplificar las cosas.

Para todos$k$,

$$(k^2+1)^2 = (k^2-1)^2 + (2k)^2$$ Dejar $$\beta=\frac{2k}{k^2+1}$$ entonces $$\gamma=\frac{k^2+1}{k^2-1}$$ y $$\gamma-1=\frac{2}{k^2-1}$$ $$\gamma+1=\frac{2k^2}{k^2-1}$$

Sustituyendo en

$$q=\frac{\gamma+1}{\gamma^2}$$ obtenemos $$q=\left(\frac{2k^2}{k^2-1} \right) \left(\frac{k^2-1}{k^2 +1}\right)^2$$ $$q=\frac{2k^2(k^2-1)}{(k^2 +1)^2}$$

Dejar$z=(k^2+1)$

De este modo

$$q=\frac{2(z-1)(z-2)}{z^2}$$ $$=\frac{2(z^2-3z+2)}{z^2}$$ $$q=2(1-3/z+2/z^2)$$ o $$q=2 - 6/(k^2+1) + 4/(k^2+1)^2$$

Así que ahora tenemos expresiones para$\gamma-1$y$q-2$que se puede calcular con seguridad. Dado$k$, ¡ni siquiera necesitamos calcular raíces cuadradas! Pero, ¿cómo podemos encontrar fácilmente$k$dado$\beta$? Para pequeños$\beta$,$k\approx 2/\beta$, y eso es en realidad una aproximación muy razonable para$\beta < 0.01$.

Dejar$n=2/\beta$, entonces

$$n=\frac{k^2+1}{k}$$ o $$n=k+1/k$$ Tenga en cuenta que podemos usar cualquiera$k$o su recíproco para representar$n$(y por lo tanto$\beta, \gamma$, etc).

$$k^2+1=nk$$ que podemos resolver exactamente: $$k=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}$$ (Tenga en cuenta que las dos soluciones son recíprocas, queremos la solución más grande).

Ese valor exacto es necesario para grandes$\beta$, pero para tales velocidades también podríamos usar las fórmulas estándar y no perder el tiempo con$k$. ;)

Para velocidades más pequeñas, para obtener más precisión que$k=n$nosotros podemos usar$k=n-1/n$, y si queremos más precisión podemos iterar$k \leftarrow n - 1/k$unas pocas veces. No converge rápidamente, pero lo hace bien incluso para$\beta\approx 0.1$. Si desea explorar qué tan rápido converge para varios$\beta$, consulte este script interactivo de Python / Sage .

Aquí hay un script interactivo un poco más detallado , que calcula$\gamma-1$y$q$de$v$, con 3 opciones para$k$:$n$,$n-1/n$, o el valor verdadero. Puede ingresar expresiones como 0.1*cy c/50en el vcuadro de entrada. (Esos scripts en realidad están codificados en la propia URL, no almacenados en el servidor SageMath).

Debe expandir la expresión a los primeros 3 términos de la expansión de Taylor, para$v$pequeño.$v=0$no es pequeño sino cero, lo que significa cero energía cinética.

Para ti pequeño:$f(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}u^2$

Y también restando la energía del resto como lo menciona Puk.