¿Sería esto correcto para la energía cinética en la relatividad especial?

Es útil comprender cómo se llega a la expresión de la energía cinética en la mecánica no relativista y aplicarla al caso relativista. Digamos que tenemos un cuerpo parado y aplicamos una fuerza$F = \frac{d(mv)}{dt}$para ponerlo en movimiento. La energía ganada por el cuerpo es entonces

$E_k = \int_0^t Fdx = \int_0^t \frac{d(mv)}{dt} dx = \int_0^tmv dv = \frac{1}{2} m v^2$

Al hacer lo mismo en mecánica relativista, debe tener en cuenta que el cuerpo se vuelve más pesado (o más "inercial") por un factor$\gamma = (1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}$con$m$ahora su masa en reposo y la integral funcionan de manera diferente. Calculando el trabajo realizado encontraremos:

$E_k = \int_0^t Fdx =\int_0^t \frac{d(\gamma mv)}{dt} dx = \int_0^tv d(m\gamma v)$

Esta integral es un poco más complicada, pero dará como resultado$E_k = (\gamma -1 ) mc^2$. Físicamente, se debe hacer mucho más trabajo para acelerar el cuerpo a medida que se vuelve más pesado.

Tenga en cuenta que en el caso clásico se puede escribir$E_k = \int_0^t \frac{p}{m} dp = \frac{p^2}{2m}$pero ya no en la mecánica relativista, como puede ver en la expresión integral de arriba, que se convierte en

$\int_0^tv d(m\gamma v) = \int_0^t\frac{p}{\gamma m} dp$.

Así que tu expresión para$E_k$en términos de cantidad de movimiento es incorrecta.

La energía cinética en relatividad especial es$KE=(\gamma -1)mc^2$, dónde$\gamma$es el factor de Lorentz. Esto se deriva de la ecuación relativista para la energía total,$E^2 = (pc)^2 + ((mc)^2)^2$; el término negativo elimina la energía restante de la energía total.

La energía cinética galileana es el límite de esta expresión para pequeñas velocidades.