¿Cómo es que ddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qjddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qj\frac{d}{dt}\left(\frac{\parcial {r_i}}{ \partial {q_j}}\right) = \frac{\partial {\dot r_i}}{\partial {q_j}} en mecánica lagrangiana? [duplicar]

Está escrito en el texto de Mecánica Clásica de Goldstein que

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial {r_i}}{\partial {q_j}}\right) = \frac{\partial {\dot r_i}}{\partial {q_j}}=\sum_k \frac{\partial^2{r_i}}{\partial {q_j}\partial{q_k}}\dot q_k+\frac{\partial^2{r_i}}{\partial {q_j}\partial t},\tag{1.50b}$$ dónde $$\dot r_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}r_i=\sum_k\frac{\partial{}r_i}{\partial{q_k}}\dot q_k+\frac{\partial {r_i}}{\partial t}.\tag{1.46}$$ Pero me parece que hay otro término en$\frac{\partial {\dot r_i}} {\partial {q_j}}$debido a la regla del producto que es $$\sum_k \frac{\partial{r_i}}{\partial{q_k}}\frac{\partial{\dot q_k}}{\partial{q_j}},$$ que creo que es igual a $$\frac{\partial{r_i}}{\partial{q_j}}\frac{\partial{\dot q_j}}{\partial{q_j}}$$ desde$q_j$son independientes entre sí.

Entonces, ¿cómo es que

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial {r_i}}{\partial {q_j}}\right) = \frac{\partial {\dot r_i}}{\partial {q_j}}~?\tag{1.50b}$$ Hace $$\frac{\partial{\dot q_j}}{\partial{q_j}} = 0\ ?$$