¿Por qué las coordenadas y las velocidades son suficientes para determinar completamente el estado y determinar el movimiento subsiguiente de un sistema mecánico?

Soy un estudiante universitario de Física, así que proporcione referencias con sus respuestas.

Landau & Lifshitz escriben en la página uno de su libro de texto de mecánica:

Si se especifican simultáneamente todas las coordenadas y velocidades, se sabe por experiencia que el estado del sistema está completamente determinado y que, en principio, puede calcularse su movimiento subsiguiente. Matemáticamente esto significa que, si todas las coordenadas q y q ˙ están dadas en algún instante, las aceleraciones q ¨ en ese instante están definidas de forma única.

Lo justifican como "conocido por experiencia", lo que no es del todo satisfactorio. ¿Cuál es la base de su afirmación?

Similar: ¿ Por qué solo hay derivadas de primer orden en el Lagrangiano?

¿Es su pregunta equivalente a la mía, a pesar de que se refiere únicamente a la Mecánica Lagrangiana?

Además, esto podría indicar cuán cruda matemáticamente es mi mente, pero ¿por qué no es suficiente simplemente dar las coordenadas? q y determinar q ˙ de eso, es decir, si q está dada por alguna función suave, ¿no podemos determinar todas las demás derivadas solo a partir de eso?

Respuestas (5)

Deberías pensar en esto aplicando las leyes de Newton en pasos de tiempo --- si conoces las posiciones y la velocidad y un instante, conoces la fuerza, y la fuerza determina la aceleración. Esto le permite determinar la velocidad y un tiempo infinitesimal en el futuro por

v ( t + d t ) = v ( t ) + d t F / metro
X ( t + d t ) = X ( t ) + d t v

Luego encuentra la posición y la velocidad en el siguiente paso de tiempo, encuentra la nueva fuerza y ​​continúa para siempre. Este es un algoritmo para resolver las leyes de Newton, y todo lo que LL dice es que las leyes de Newton se conocen a partir de la experiencia con objetos, se deducen de las observaciones.

+1 buena premisa, tenga cuidado de no implicar que los resultados de observación solos son suficientes.
Parece estar diciendo que puede calcular la fuerza, en lugar de que la fuerza se especifique para usted.
@Argus: "Inducción" significa resultados experimentales más lo que sea que nos permita hacer inducción.
@LarryHarson: Calculas la fuerza a partir de la ley de la fuerza y ​​las posiciones y velocidades de las partículas.
La ley de la fuerza es F = metro d v d t y te dan F , mientras que usted calcula d v de F y d t . Su segunda ecuación debe tener un v d t en lugar de d t X
@LarryHarson: No, no, no. No te dan F en función del tiempo, te dan F en función de la posición. La posición es desconocida hasta que realice la simulación, por lo que para encontrar el valor de la fuerza en el momento t, debe calcularlo desde la posición en el momento t. La ley de la fuerza no es F=ma, es F=GMm/r^2, o F= -a/r^6 + b/r^12, o algo así --- es una ley que te dice la fuerza entre partículas en función de sus posiciones.

"conocido por experiencia" aquí significa "conocido por experiencia que las derivadas de primer orden en el Lagrangiano o segundo orden en las ecuaciones de movimiento son suficientes". Creo que su base para esta afirmación es muy occamiana (pero, ¿quién podría saber con certeza en qué estaba pensando L&L?) El enfoque no occamiano de esta respuesta se proporciona en la publicación que citó en su pregunta.

Para la última pregunta de hecho se puede determinar q ˙ , q ¨ , … , de q solo si ya sabes q . ¡Pero espera! no estaba encontrando q ¿el problema? y, ¿cómo se supone que debes determinar q ? Resolviendo una ecuación de segundo orden, para la cual necesitas condiciones iniciales ( q 0 , q ˙ 0 ).

Lo siento, la segunda pregunta parece cómicamente obvia ahora, no sé cómo logré confundirme, de alguna manera logré interpretar la afirmación "si todas las coordenadas q y q ˙ se dan en algún instante " como la declaración "si las coordenadas q [y q ˙ ] se dan en todas las instancias "

Dada una ecuación diferencial de segundo orden, la solución estará determinada únicamente por dos conjuntos de datos.

Para conocer un sistema, necesitamos conocer todas las fuerzas que actúan sobre ese sistema en algún instante. Clásicamente, siempre resolvemos la ecuación de movimiento de Newton, es decir, la conservación del momento. Nuevamente, el impulso es una función de la velocidad y la velocidad es una función de las coordenadas.

Entonces, si se conocen la velocidad y las coordenadas, resolvemos la ecuación de movimiento de Newton y, por lo tanto, podremos definir el sistema. Sin embargo, determinar todas las fuerzas en un sistema general puede no ser fácil. Entonces, se introducen coordenadas y velocidades generalizadas. Usando coordenadas y velocidades generalizadas, la solución de la ecuación de movimiento se vuelve más fácil y eficiente.

creo que es porque todas las fuerzas que observamos experimentalmente son funciones de r y v solo como la fuerza de Lorentz o la fuerza gravitacional, etc.

¿Por qué las coordenadas y las velocidades son suficientes para determinar completamente el estado y determinar el movimiento subsiguiente de un sistema mecánico?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v