¿Cuál es el tipo de función del momento generalizado?

Question

¿Cuál es el tipo de función del momento generalizado?

Física
impulso
diferenciación
sistemas coordinados
mecanica clasica
formalismo lagrangiano

Nikolaj-K

Dejar

L : R^{norte} \times R^{norte} \times R \to R

$L:{\mathbb R}^n\times {\mathbb R}^n\times {\mathbb R}\to {\mathbb R}$

denote el Lagrangiano (debe ser diferenciable) de un sistema clásico con $n$ coordenadas espaciales. en la acción

S [q] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q (t), q^{'} (t), t) d t,

$S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q(t),q'(t),t)\, \mathrm{d}t,$

la primera $n$ las ranuras se evalúan en una ruta $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , el segundo $n$ en $q'$ y el último es para posibles dependencias temporales explícitas.

Son momentos generalizados definidos como funciones de las coordenadas generalizadas, es decir

{pag}_{j} = \frac{\partial L (X^{1}, \dots, X^{norte}, v^{1}, \dots, v^{norte}, t)}{\partial v^{j}},

$p_j=\frac{\partial L(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n,t)}{\partial v^j},$

o asociado a una curva $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , es decir

{pag}_{j} = {\frac{\partial L (q^{1}, \dots, q^{norte}, v^{1}, \dots, v^{norte}, t)}{\partial v^{j}} |}_{q = q (t), v = q^{'} (t)},

$p_j=\left.\frac{\partial L(q^1,\dots,q^n,v^1,\dots,v^n,t)}{\partial v^j}\right\rvert_{\large{q=q(t),\ v=q'(t)}},$ ?

En el último caso es una función del tiempo solamente, y $q$ está enterrado en algún lugar dentro de él.

Una pregunta que es codependiente con esto podría ser: ¿Cuál es el tipo de la derivada total y el término $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}$ en ecuación diferencial en $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , que generalmente se expresa como

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0.$

yuggib

Para sistemas clásicos en dimensiones finitas,

q, \dot{q}, p

$q,\dot{q},p$ se piensan como mapas de

R

$\mathbb{R}$ a

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ . Sin embargo, a menudo es conveniente realizar un seguimiento de la dependencia explícita, por ejemplo, en

q

$q$ y

\dot{q}

$\dot{q}$ de

p

$p$ .

Nikolaj-K

@yuggib: Me parece que las ecuaciones se expresan como

\dot{q} = {q, H}

${\dot q}=\{q,H\}$ y

\dot{p} = {p, H}

${\dot p}=\{p,H\}$ son completamente extraños, sin importar cuál de las dos perspectivas tomes.

yuggib

En mi opinión, no son extraños, solo más geométricos: los corchetes de Poisson subrayan la estructura simpléctica de los sistemas en la mecánica clásica.

Nikolaj-K

@yuggib: Mi punto era que el paréntesis de Poisson se define como derivadas wrt q y p, y en el lado derecho tomamos tales derivadas de q y p. A la izquierda, en cambio, tenemos que hablar de trayectorias. Por eso son impares, sin señalar dónde sustituimos qué.

Respuestas (1)

¿Cuál es el tipo de función del momento generalizado?

Para sistemas clásicos en dimensiones finitas, $q,\dot{q},p$ se piensan como mapas de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^n$ . Sin embargo, a menudo es conveniente realizar un seguimiento de la dependencia explícita, por ejemplo, en $q$ y $\dot{q}$ de $p$ .
@yuggib: Me parece que las ecuaciones se expresan como ${\dot q}=\{q,H\}$ y ${\dot p}=\{p,H\}$ son completamente extraños, sin importar cuál de las dos perspectivas tomes.
En mi opinión, no son extraños, solo más geométricos: los corchetes de Poisson subrayan la estructura simpléctica de los sistemas en la mecánica clásica.
@yuggib: Mi punto era que el paréntesis de Poisson se define como derivadas wrt q y p, y en el lado derecho tomamos tales derivadas de q y p. A la izquierda, en cambio, tenemos que hablar de trayectorias. Por eso son impares, sin señalar dónde sustituimos qué.

qmecanico · Answer 1

I) Muchas de las preguntas de OP sobre cómo funciona el formalismo lagrangiano ya se abordan, por ejemplo, en esta publicación de Phys.SE y sus enlaces. Por ejemplo, la pregunta sobre la derivada del tiempo total en las ecuaciones EL se analiza en mi respuesta .

II) En esta respuesta, nos gustaría explicar matemáticamente las diversas definiciones en el formalismo lagrangiano (de la mecánica clásica). Supongamos, por simplicidad, que no existe una dependencia temporal explícita ni derivadas temporales superiores, es decir, dejemos estas generalizaciones como ejercicio.

Deja que el múltiple $M$ sea el espacio de configuración/posición. Sea dada una función lagrangiana

\begin{matrix} (1) & mi := T METRO ∋ z := (q, v) \overset{L}{\mapsto} L (q, v) \in R . \end{matrix}

$\tag{1} E~:=~TM~\ni~z:=~(q,v)~ \stackrel{L}{\mapsto}~L(q,v)~\in~ \mathbb{R}.$

el diferencial es

\begin{matrix} (2) & T mi \overset{L_{*} \equiv \frac{\partial L}{\partial z}}{⟶} T R . \end{matrix}

$\tag{2} TE~\stackrel{L_{\ast}\equiv\frac{\partial L}{\partial z}}{\longrightarrow} ~T\mathbb{R}.$

La función de momento lagrangiano correspondiente

\begin{matrix} (3) & mi ∋ (q, v) \overset{(π_{METRO}, pag)}{\mapsto} (q, pag (q, v)) \in T^{*} METRO \end{matrix}

$\tag{3} E~\ni~(q,v)~\stackrel{(\pi_M, p)}{\mapsto}~(q,p(q,v))~\in~T^{\ast}M$

se da en coordenadas como $^1$

\begin{matrix} (4) & pag = \frac{\partial L}{\partial v} . \end{matrix}

$\tag{4} p~=~\frac{\partial L}{\partial v}.$

Del mismo modo tenemos

\begin{matrix} (5) & mi ∋ (q, v) \overset{(π_{METRO}, \frac{\partial L}{\partial q})}{\mapsto} (q, \frac{\partial L (q, v)}{\partial q}) \in T^{*} METRO . \end{matrix}

$\tag{5} E~\ni~(q,v)~\stackrel{(\pi_M, \frac{\partial L}{\partial q})}{\mapsto}~(q,\frac{\partial L(q,v)}{\partial q})~\in~T^{\ast}M.$

En ecs. (3) y (5) hemos utilizado identificaciones canónicas adecuadas entre los paquetes cotangentes $T^{\ast}E$ y $T^{\ast}M$ .

III) Deja

\begin{matrix} (6) & I := [t_{i}, t_{F}] \overset{γ}{⟶} METRO \end{matrix}

$\tag{6} I~:=~[t_i,t_f] ~\stackrel{\gamma}{\longrightarrow}~M$

sea una trayectoria/curva de posición. Dejar

\begin{matrix} (7) & I ∋ t \overset{\tilde{γ}}{\mapsto} (γ (t), \dot{γ} (t)) \in mi \end{matrix}

$\tag{7} I ~\ni~t~ \stackrel{\tilde{\gamma}}{\mapsto}~(\gamma(t),\dot{\gamma}(t))~\in~ E$

Sea la elevación correspondiente al fibrado tangente.

IV) El retroceso correspondiente

\begin{matrix} (8) & I ∋ t \mapsto ({\tilde{γ}}^{*} L) (t) := L \circ \tilde{γ} (t) \in R \end{matrix}

$\tag{8} I ~\ni~t~\mapsto~(\tilde{\gamma}^{\ast} L)(t)~:=~L\circ\tilde{\gamma}(t)~\in~ \mathbb{R}$

y

\begin{matrix} (9) & I ∋ t \mapsto ({\tilde{γ}}^{*} pag) (t) := pag \circ \tilde{γ} (t) \end{matrix}

$\tag{9} I ~\ni~t~\mapsto~(\tilde{\gamma}^{\ast} p)(t)~:=~p\circ \tilde{\gamma}(t)$

a menudo en la literatura de física también se les llama Lagrangian y el impulso (de / a lo largo del camino), respectivamente.

V) El funcional de acción es

\begin{matrix} (10) & C^{1} (I) ∋ γ \overset{S}{\mapsto} \int_{I} d t {\tilde{γ}}^{*} L \in R . \end{matrix}

$\tag{10} C^1(I)~\ni~\gamma~\stackrel{S}{\mapsto} \int_I \!dt ~\tilde{\gamma}^{\ast} L ~\in ~\mathbb{R}.$

VI) Las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen

\begin{matrix} (11) & \frac{d}{d t} pag \circ \tilde{γ} (t) = \frac{\partial L}{\partial q} \circ \tilde{γ} (t) . \end{matrix}

$\tag{11} \frac{d}{dt} p\circ\tilde{\gamma} (t)~=~\frac{\partial L}{\partial q}\circ\tilde{\gamma} (t).$

--

$^1$ En esta respuesta, solo discutimos el formalismo lagrangiano. Hay un formalismo hamiltoniano correspondiente, que no consideramos por simplicidad. En particular, la función de cantidad de movimiento lagrangiana (4) no debe confundirse con la función de cantidad de movimiento hamiltoniana, que es una variable independiente.

Gracias por la respuesta: ¿hay un nombre razonable para el retroceso de la función de impulso?

¿Cuál es el tipo de función del momento generalizado?

Nikolaj-K

yuggib

Nikolaj-K

yuggib

Nikolaj-K

Respuestas (1)

qmecanico

Nikolaj-K

¿Cómo es que ddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qjddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qj\frac{d}{dt}\left(\frac{\parcial {r_i}}{ \partial {q_j}}\right) = \frac{\partial {\dot r_i}}{\partial {q_j}} en mecánica lagrangiana? [duplicar]

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