¿Por qué hemos tomado diferentes áreas para ambos casos?

La solución es bastante sencilla.

Antes que nada, debes saber qué es el estrés. El estrés no es más que la fuerza a través de un área determinada. Podemos expresar el estrés$\sigma$(tu maestro lo nombró$S$) como el cociente de fuerza$F$y área$A$

$$\begin{equation} \sigma = \frac{F}{A} \quad . \end{equation}$$

Si la fuerza producida por el gas ($F_g$) excede la fuerza que mantiene unida la esfera ($F_b$), la esfera se rompe. Podemos escribir la ecuación de equilibrio de fuerzas mientras hacemos uso de la relación fuerza-esfuerzo de arriba para la fuerza de ruptura$F_b$.

$$\begin{align} F_g &= F_b \\ F_g &= \sigma_b \, A_b \end{align}$$

Por último, tenemos que identificar la fuerza producida por el gas que se puede expresar en términos de la presión del gas.$\rho$($F_g = \rho A_r$) y la zona que está relacionada con el esfuerzo de rotura. La presión del gas actúa en el interior de la esfera de vidrio donde el área de la superficie se da como:$A_r = \pi r^2$.

Si la esfera de cristal se rompe, la pared se hace añicos. Esta es la razón por la que el esfuerzo de rotura está relacionado con el área de la pared de la esfera de vidrio. Podemos calcular el área de este anillo restando el área del círculo más grande del más pequeño.

$$\begin{align} A_b &= \pi [(r + \Delta r)^2 - r^2] \\ &= \pi [r^2 + 2r \Delta r + \Delta r^2 - r^2] \\ &\approx \pi 2r \Delta r \end{align}$$

La última línea se sigue de$\Delta r \ll r$lo que nos permite omitir el término aún más pequeño$\Delta r^2$.

Poniendo todo junto, nos deja con el resultado deseado

$$\begin{align} F_g &= \sigma_b \, A_b \\ \rho A_r &= \sigma_b A_b \\ \rho \pi r^2 &= \sigma_b \pi 2r \Delta r \\ \rho &= \frac{\sigma_b 2 \Delta r}{r} \quad . \end{align}$$

El gas empuja toda la superficie interna de las medias esferas, por lo que las flechas azules muestran la fuerza debida al gas que intenta 'romper' la esfera.

Por ejemplo, el gas podría empujar la media esfera izquierda hacia la izquierda con$100N$y la media esfera derecha a la derecha con$100N$.

El material de la esfera que puede resistir la rotura se muestra sombreado en rojo. Esta fuerza opuesta es del esfuerzo en el material multiplicado por el área sombreada en rojo, si el$\Delta r$fuera más grande, entonces el material estaría bajo menos estrés.