Acerca de los conos de Dirac

Esta bonita imagen de los conos de Dirac (de este artículo ), en un ( mi , k → gráfico) será una introducción para varias preguntas, en el ámbito de los aisladores topológicos.

1) ¿El cono de Dirac aparece solo en la superficie?

2) ¿Es importante la forma (el cono)?

3) El cono de Dirac no tiene espacios, por lo tanto, ¿solo es estable por protección de simetría?

4) Supongamos que se abre un cono de Dirac, luego se cierra y luego se vuelve a abrir. En la situación abierta, hay una brecha de energía, por lo que existe una posible topología no trivial. Entonces, ¿es posible cambiar la topología en el proceso abrir->cerrar->abrir?

Espero que alguien proporcione más detalles, pero permítanme dar algunas respuestas rápidas. 1) Sí, ya que los aisladores topológicos (TI) por definición están separados en su mayor parte. La existencia de modos de límite sin espacios se puede argumentar heurísticamente de la siguiente manera: la transición de fase entre los diferentes TI solo puede ocurrir si se cierra el espacio mayoritario. Si uno coloca dos TI diferentes uno al lado del otro, la brecha debe cerrarse en el límite entre ellos de modo que pueda haber una transición.
2) Depende con respecto a lo que debe ser importante. En lo que respecta a la estabilidad de los modos de borde, eso no es importante. Sin embargo, la forma será importante para preguntas sobre la dinámica detallada, por ejemplo. Si se tienen en cuenta las contribuciones más altas de energía/cantidad de movimiento en la teoría del límite efectivo de baja energía, entonces la ecuación de Dirac obtendrá correcciones no relativistas en general. Esto también está claro en tu imagen. Consulte, por ejemplo , arxiv.org/abs/0908.1418 . ecuación (4) contienen la primera corrección de la dispersión y por lo tanto el cambio de forma del cono de Dirac.
3) Sí, la ausencia de huecos del modo límite está protegida por una simetría (como es el caso de todos los TI). 4) No estoy seguro de entender esta pregunta.

Respuestas (1)

Prólogos: Como comentó Heidar en los comentarios asociados, mis respuestas no estaban dedicadas a la situación del aislador topológico. Intentaré corregirme en algunas ediciones. Escribiré [-> entre corchetes <-] y en answer-bis , pero dejo mis respuestas sobre superconductores topológicos, ya que pueden ser útiles.

Respuestas cortas, separe sus preguntas si desea una respuesta más detallada:

1) Conos de Dirac en la superficie: Aparecen algunos conos de Dirac emergentes en la mayor parte del pag superconductor quiral de ondas, consulte el libro de Volovik para obtener más detalles, disponible gratuitamente en su página web en la Universidad de Aalto. No estoy a gusto con la noción de estructura de banda en la superficie . No tengo idea de lo que significa... Eso es solo el cierre de la brecha que ocurre en la superficie/borde para mí. [-> Consulte los comentarios de Heidar para una discusión inteligente <-].

1-bis: la situación topológica del aislador. El caso del aislador topológico es más fácil de discutir, ya que un aislador a granel no tiene cierre de la brecha por definición. Entonces, el cierre lineal de Dirac solo puede ocurrir en el borde. Consulte también el punto 4 a continuación y los comentarios de Heidar sobre el modelo Jackiw-Rebbi a continuación.

2) Forma del cono: La forma per se no es importante. Lo que necesita es una relación de dispersión lineal con un punto de cruce. (NB: sin cruzar, la dispersión corresponde a las partículas de fermión de Weyl). La estructura de cono es la estructura más simple como esta.

3) Topología protegida por simetría: no sé la respuesta completa a esta pregunta. Diría que no , no para los conos de Dirac emergentes en fase superconductora/superfluida: el cono también puede estar topológicamente protegido. Pero la topología depende en gran medida de la simetría de los hamiltonianos cuadráticos, especialmente los tres discretos de partícula-agujero. PAG tal que { PAG , H } = 0 con PAG 2 = ± 1 , inversión del tiempo T tal que [ T , H ] = 0 con T 2 = ± 1 (ambos PAG y T tener representación antiunitaria, y H es una representación del hamiltoniano), y el quiral C ≡ PAG T unos (existe una situación cuando C está presente sin ninguno PAG ni T ). Esto sigue siendo preocupante para mí. Creo que es esencialmente una cuestión de convención si desea llamar a estas simetrías discretas algún tipo de topología (lo que sea que signifique) o no. Topología para mí significa que tienes un número de Chern v ≠ 0 , y lo mantendrás hasta que cambies una de las simetrías discretas que mencioné. Pero algunos números de Chern también están protegidos por la simetría, por lo que es un lío desentrañar todas estas nociones al final.

3-bis: la situación topológica del aislador. Para el aislador topológico una vez más, la situación es más fácil, ya que la clasificación topológica es muy clara: las características topológicas las proporciona la simetría. Estas simetrías son solo las tres simetrías discretas que discutí en el punto 3.

4) Apertura <--> cierre de la brecha Creo que la respuesta a esta pregunta fue respondida hace mucho tiempo por Volkov y Pankratov, Two-dimensional massless electrons in an inverted contact JETP, 42 178 (1985) (artículo gratuito) o lo entendí mal. La respuesta es sí, y obtienes una solución instantánea en el límite, como en Jackiw-Rebbi. Volkov y Pankratov discuten la relación de dispersión de Dirac, no un modelo relativista.

1) Dado que la pregunta estaba en el contexto de los aisladores topológicos (TI), no puede tener modos sin espacios en la mayor parte por definición. Si es así, entonces no estás en la fase de un TI. Es fácil conseguir un cono de Dirac al por mayor. Escriba un modelo simple para un TI, digamos el que se encuentra en physics.stackexchange.com/questions/3282/… . La teoría de baja energía será una ecuación de Dirac masiva en su mayor parte. Cuando la masa es cero y tienes un cono de Dirac a granel. Ese es el punto de transición de fase y, por lo tanto, no es una fase TI.
La estructura de bandas en la superficie en realidad tiene sentido. En el modelo mencionado anteriormente, asumí simetría de traslación y, por lo tanto, sin borde y, por lo tanto, k = ( k X , k y ) es un buen número cuántico. Los valores propios de H ( k ) son la estructura de la banda a granel. Ahora suponga que hay un borde en X = 0 y X = L . Ahora k X ya no es un buen número cuántico pero k y todavía lo es. Transformada de Fourier k X al espacio real: H ( k X , k y ) → H mi ( k y ) . Nuestro 2 × 2 La matriz ahora se convierte en una 2 L × 2 L matriz dependiendo solo de k y .
Los valores propios de H mi ( k y ) (Habrá 2 L de ellos parametrizados por k y ) es lo que puede llamar la estructura de la banda de borde (aunque también contiene la parte principal). Allí se verán bandas sin huecos, dentro de muchas bandas con huecos. Al encontrar el vector propio correspondiente a los modos sin espacios, uno encontrará que están localizados en los límites. Alternativamente, uno puede tomar la teoría efectiva de baja energía del volumen y hacer lo mismo, resolviendo las ecuaciones diferenciales, obtendrá los modos de contorno (similar al análisis de Jakiw-Rebbi). Estos a veces se denominan fermiones de Kaplan en la teoría del calibre de celosía.
@Heidar Gracias por tus comentarios. He tratado de corregir en consecuencia. Por favor, dígame si todavía hay errores. Muchas gracias también por la discusión sobre la estructura de banda de borde a granel.
@Oaoa: +1 por la respuesta detallada
@Heidar: Gracias por todos los detalles y precisiones.
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