¿Por qué Hausdorff y colector Paracompact en GR?

No se puede hacer cálculo en una variedad que no sea Hausdorff y paracompacta. Si no puedes hacer cálculo, hacer física con ecuaciones de campo es bastante inútil.

En cuanto a su primera pregunta, por favor dígala más claramente.

Sin la propiedad de Hausdorff, la propiedad de unicidad de los límites de las sucesiones falla e implica muchas malas consecuencias para varios resultados relacionados con la unicidad abstracta, por ejemplo, de soluciones de ecuaciones diferenciales en variedades. Además, sin Hausdorff, no tiene funciones de sombrero suave que son útiles para extender los campos tensoriales suaves locales a los suaves globales. La definición de vectores tangentes como derivados sobre el anillo de funciones suaves definidas globalmente resulta un poco engorrosa (incluso si es posible y esa forma se sigue efectivamente en geometría algebraica compleja, por ejemplo, o también para variedades analíticas reales).

Finalmente, en ausencia de paracompacidad no se pueden construir particiones suaves de la unidad y es difícil definir una noción de integral.

(modificado después del comentario de Ricky Demer)

Es importante saber que un Hausdorff, segundo contable, localmente homeomorfo a$\mathbb R^n$el espacio es paracompacto. Por el contrario, un Hausdorff, localmente homeomorfo a$\mathbb R^n$, el espacio paracompacto es contable en segundo lugar si sus componentes conexas son contables (es decir, en particular cuando el espacio es conexo).

Para agregar a la respuesta de Jerry Schirmer : "Road To Reality" de Roger Penrose tiene una discusión realmente grandiosa, con bocetos en la sección 12.2 de lo que significaría no Hausdorff. Realmente te recomiendo que lo leas y lo medites. A menos que se cumpla el axioma de Hausdorff, la "ramificación" surgiría en el borde de una región de transición donde se superponen "parches de coordenadas" (es decir, gráficos ). Los puntos distintos "soldados entre sí" por conjuntos abiertos indivisibles podrían hacer que los saltos entre puntos distintos fueran "continuos" y la noción de "topología" no podría ser consistente con la de los parches superpuestos individuales. Es decir, las cartas son homoeomorfismos (difeomorfismos en relatividad) entre vecindades abiertas del origen en$\mathbb{R}^N$y subconjuntos de la variedad y, por lo tanto, cuando otorgamos la topología local de$\mathbb{R}^N$en cada parche individualmente a través de la función de coordenadas, la topología de cada parche por separado lo convierte en Hausdorff individualmente, lo que conduciría a una "inconsistencia" si los parches se pegaran de manera que no fueran Hausdorff. Si intentara hacer definiciones de cálculo en una bestia así, no puedo ver cómo lo haría sin introducir algún tipo de relación de equivalencia para considerar que todos los puntos distintos en conjuntos abiertos indivisibles son "iguales": en otras palabras, terminarías forzando el axioma de Hausdorff antes de comenzar tu trabajo serio. Ahora bien, esto podría ser simplemente una falta de imaginación matemática de mi parte, pero no creo que haya visto variedades trabajadas seriamente sin el axioma de Hausdorff, aunque he visto a algunos autores decir cosas como (pretenciosamente en mi opinión) "