¿Por qué el tensor de Einstein GGG debe ser lineal en el tensor de curvatura de Riemann?

En el clásico libro de Misner, Wheeler y Thorne, justifican la forma del tensor de Einstein, GRAMO , por el hecho de que es el único tensor que satisface

  1. GRAMO se desvanece cuando el espacio-tiempo es plano
  2. GRAMO es una función del tensor de curvatura de Riemann y métrica solamente
  3. GRAMO es lineal en el tensor de curvatura de Riemann
  4. GRAMO es un tensor simétrico y de segundo orden
  5. GRAMO tiene divergencia que se desvanece.

El punto 1 proviene del hecho de que si equiparamos la gravitación con la desviación geodésica por la curvatura del espacio-tiempo, entonces la ausencia de la curvatura del espacio-tiempo debería significar que no hay gravitación. El punto 2 básicamente dice que la gravitación se debe únicamente a la desviación geodésica. El punto 4 se debe básicamente a que la curvatura es de dos formas (o porque queremos que el tensor de tensión-energía sea una fuente de curvatura del espacio-tiempo, que es un tensor de rango dos) y el punto 5 se debe a la conservación (local) de energía-momento. .

Sin embargo, no entiendo por qué necesitamos el punto 3. Posiblemente a nivel cuántico puede haber correcciones que no son lineales en el tensor de curvatura de Riemann, pero ¿por qué, a nivel clásico, exigimos linealidad en el tensor de curvatura de Riemann?

Ah, ya veo. ¿Aceptarías "porque R m v tiene dimensiones de metro − 2 y no tenemos una escala de longitud fija en GR"?
@SolenodonParadoxus. Interesante. ¿Puede explicar por qué eso conduciría a la linealidad de la misma? ¿Podría ser que quisiera que la curvatura fuera linealmente proporcional al tensor de tensión de energía (contenido)?
@BobBee mi lógica es la siguiente. Imagina eso GRAMO incluye ambos ∼ R α y ∼ R β términos. Entonces tendríamos que compensar metro β − α faltan dimensiones de longitudes, pero no tenemos una constante dimensional a nuestra disposición.
@SolenodonParadoxus Tiendo a encontrar que los argumentos de análisis dimensional son muy ondulados y no muy rigurosos. ¿Por qué no podemos simplemente introducir constantes más dimensionales? Esperaba que hubiera un argumento basado en la simetría.
@thedoctar Estoy totalmente de acuerdo, pero, de nuevo, debe esperar que algo ondulado a mano (a priori) respalde un reclamo como este. No tengo conocimiento de ningún argumento basado en la simetría que apoye esta afirmación.
@SolenodonParadoxus No estoy seguro de por qué debería esperar un argumento ondulado. Puede haber una justificación física. O puede que no lo haya. ¿Tal vez tenga algo que ver con que la gravedad sea una teoría de calibre?
Lovelace ha demostrado que es el único tensor de dos rangos libre de divergencia que depende de derivadas del tensor métrico no superiores al segundo. Por supuesto, también es lineal en las segundas derivadas del tensor métrico, lo que lleva a la linealidad en la curvatura. Einstein-Cartan, con torsión, no estoy seguro si también es lineal (debería ser fácil de encontrar), pero él y Einstein puro son las únicas posibilidades si se usa el Lagrangiano de Einstein (y con Cartan permitiendo la torsión). Todavía no responde la pregunta, pero 3 básicamente también conduce a 10 ecuaciones pseudo lineales para 4 dimensiones
@BobBee ¿Estaría en lo correcto al decir que si elimináramos la condición 3, entonces nuestro tensor de Einstein sería lineal en los términos del tensor de curvatura de Riemann?
Suena así, si Lovelace tiene razón. No he visto la prueba, sería bueno encontrar alguna referencia en algún otro libro. Lo vi en Wiki sobre el tensor de Ricci.
Aunque el argumento del análisis dimensional es muy interesante, la razón por la que G tiene que ser lineal en R proviene de la mecánica clásica. En mecánica clásica aprendemos que las ecuaciones dinámicas no pueden tener más de dos derivadas con respecto al tiempo si requerimos causalidad. Dado que R ya contiene dichos términos, una mayor potencia de R conduciría a una dinámica casual.
@CGH ¿Podría proporcionar una referencia? ¿Es el contexto de su declaración puramente teórico de campo? No veo cómo una ecuación como a=v^3 es acausal.
@thedoctar ¡Esto es pura PDE! Visite web.math.ucsb.edu/~grigoryan/124A.pdf para ver una discusión sobre la causalidad de la onda plana. También debe consultar las discusiones aquí physics.stackexchange.com/q/4102 . El único ejemplo específico que puedo dar ahora es la fuerza de Abraham-Lorentz, donde una partícula acelera antes de interactuar. Buscaré una referencia más general.
@CGH No use comentarios para responder preguntas, escriba una respuesta en su lugar.
@CGH ¿Tiene alguna prueba o ejemplo de cómo las derivadas de mayor tiempo rompen la causalidad?
@thedoctar No tengo una prueba, pero sí ejemplos. Vea mi respuesta para un enlace que discute tales temas.

Respuestas (1)

Las teorías con más de dos derivadas siempre se tratan con mucho cuidado. La causalidad y la unitariedad podrían romperse. Podría haber fantasmas (lo que en realidad significa que hay menos grados de libertad de los esperados). Los grados de libertad perturbadores pueden diferir del análisis hamiltoniano (no perturbativo). Entre otras cuestiones.

La fuerza de Abraham-Lorentz es un ejemplo canónico de tal comportamiento en el nivel clásico. Esta fuerza es proporcional a la derivada de la aceleración, F r a d = m 0 q 2 6 π C X ⃛ . El problema con esta fuerza es que una partícula acelera antes de que se aplique la fuerza.

Al construir la gravedad, es posible que desee acoplarla a la materia. Si tiene una métrica plana, esperaría recuperar la electrodinámica clásica. Si, además, pregunta por la causalidad, no espera derivadas de tercer orden en la ecuación de movimiento, ya que quiere evitar la fuerza de Abraham-Lorentz. Si linealiza el EOM de Einstein en torno a una métrica plana, no querrá que esta acción sea la fuente de dichas fuerzas. Por lo tanto, se requiere que las ecuaciones de Einstein contengan, como máximo, derivadas de segundo orden.

Esta es la razón por la que requiere que " G sea lineal en el tensor de curvatura de Riemann ".

Por supuesto, no evitas las correcciones de curvaturas más altas como si fueran la peste. Las correcciones de la teoría de cuerdas a la ecuación de Einstein en realidad contienen tales términos. Cómo lidiar con ellos sigue siendo un área activa de investigación.

Para una revisión anterior sobre teorías de derivadas superiores, vea esto .

La fuerza de Abraham-Lorentz está bien explicada en wikipedia .

¿Por qué el tensor de Einstein GGG debe ser lineal en el tensor de curvatura de Riemann?
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