Velocidad de la gravedad en códigos cosmológicos y generación de efemérides

Es tentador pensar en la gravedad como algún tipo de interacción entre los dos cuerpos involucrados, tal vez algún tipo de señal (¿onda de gravedad?) enviada entre los dos cuerpos. Si este fuera el caso, entonces tendría que permitir un retraso de propagación ya que las señales se enviaron entre los dos cuerpos. Sin embargo, no es así como funciona la gravedad.

Un objeto masivo curva el espacio-tiempo en su vecindad. Por ejemplo, la Tierra produce una curvatura en el espacio-tiempo (aproximadamente) descrita por la métrica de Schwarzschild. Otro objeto que se mueve cerca de la Tierra no está interactuando con la Tierra, está interactuando con la curvatura del espacio-tiempo causada por la Tierra. Además, esta interacción es local, es decir, nuestro objeto de prueba interactúa con la curvatura del espacio-tiempo en su ubicación y, por lo tanto, con cero retraso.

De hecho, los cambios en la curvatura se propagan a la velocidad de la luz, pero una vez que se ha establecido la curvatura, no hay demora para los objetos que interactúan con esa curvatura.

Esto responde inmediatamente a sus preguntas 2 y 3 (volveré a la 1). Los planetas, asteroides o cualquier cosa que se mueva en el Sistema Solar se mueven en línea recta en el espacio-tiempo curvo en su posición. La curvatura del espacio-tiempo deforma la línea recta en las órbitas elípticas que vemos seguir a los planetas. Los planetas no necesitan saber que el Sol está allí; si se pudiera encontrar algún medio alternativo hipotético para crear la misma curvatura del espacio-tiempo en la ubicación de los planetas, se movería de la misma manera. No tenemos que preocuparnos por los retrasos de los planetas en la interacción con el Sol porque no están interactuando con el Sol. Simplemente están interactuando con su curvatura de espacio-tiempo local.

Esto también aborda su preocupación sobre cómo la gravedad escapa de un agujero negro. Tu pregunta dice:

La masa del agujero negro está por debajo del horizonte de eventos y, sin embargo, logra actualizar su campo gravitatorio externo.

pero no actualiza el campo gravitacional externo. El Sol curva el espacio-tiempo en nuestra vecindad y (suponiendo una simetría esférica, que es una buena suposición en el Sistema Solar), esta curvatura no depende de qué tan grande es el Sol o qué tan denso es, solo su masa. Si el Sol colapsara repentinamente en un agujero negro, la curvatura del espacio-tiempo en nuestra vecindad no se vería afectada y la Tierra continuaría orbitando tal como lo hace actualmente. No tienes que preocuparte por cómo escaparía la gravedad del agujero negro porque no tiene por qué hacerlo. La Tierra simplemente se mueve de acuerdo con su curvatura de espacio-tiempo local y no sabe ni le importa lo que sucede dentro del horizonte de eventos.

Finalmente volvamos a tu primera pregunta. Si su sistema es muy grande, entonces necesita un tratamiento relativista general completo para describirlo. Por ejemplo, para describir todo el universo, resuelve las ecuaciones de Einstein con algunas suposiciones sobre la distribución de la materia y obtiene la métrica FLRW. Esto te dice cosas como la tasa de expansión.

Sin embargo, para los sistemas más pequeños, los cambios en la curvatura total del espacio-tiempo son relativamente lentos y predecibles, y puede hacer un buen trabajo al describir el movimiento sin tener que preocuparse por la velocidad de propagación de esos cambios. Por ejemplo, a menudo asumimos un alto nivel de simetría (como en la métrica FLRW), por lo que los mismos cambios ocurren en todas partes al mismo ritmo y no hay demoras en la propagación.

No creo que pueda demostrar rigurosamente que los motores de simulación no necesitan preocuparse por la velocidad finita de la gravedad (¿posiblemente? No sé si hay una medida confiable), pero puedo ofrecer algunas líneas de pensamiento que apuntan en esa dirección

Comenzaré con tu pregunta 3. Supongamos que la gravedad tiene una velocidad finita igual a$c$. Su pregunta parece formularse desde un punto de vista algo newtoniano, pero al mirarlo con GR en mente, se ve mucho mejor. En GR, la masa provoca una deformación del espacio-tiempo. Si la gravedad tiene velocidad$c$, lo que realmente estamos diciendo es que los cambios en la deformación se propagan a una velocidad$c$. En cuanto a la curvatura del espacio-tiempo, no hay nada especial en el horizonte de sucesos de un agujero negro, todo se comporta bien hasta llegar a la singularidad. El horizonte de eventos solo se vuelve relevante cuando comienzas a hablar sobre cómo se propagan otras partículas en el espacio-tiempo curvo. Intente reemplazar "campo gravitacional" con "espacio-tiempo curvo" en su pensamiento y vea si está más feliz. Por cierto, no sé si/cómo esto se reconcilia con la partícula de gravitón hipotética. ¿Quizás esto sea parte de la dificultad para formular una teoría cuántica de la gravedad?

Ahora vamos a tu pregunta 1. Creo que la respuesta es una combinación de la propiedad homogénea del Universo a gran escala y el teorema de la capa. Veamos una "partícula de prueba" al lado de una distribución de masa autogravitante esféricamente simétrica extendida. Suponga que ambos han estado en su lugar por al menos tiempo$D/c$, donde$D$es la distancia a la parte más distante de la distribución de masa (resulta que los "horizontes" en el sentido de la esfera de influencia de una partícula terminan por no ser problemáticos, más sobre esto más adelante). Entonces la partícula de prueba "sabe" acerca de la distribución de masa. Ahora pasemos al ejercicio de calcular la aceleración de la partícula con gravedad de velocidad finita y gravedad de velocidad infinita.

Gravedad de velocidad infinita:

La distribución de masa es esféricamente simétrica, por lo que según el teorema de la capa, cualquier partícula fuera de ella siente una fuerza equivalente a la ejercida por una masa puntual con la misma masa total colocada en el centro de la distribución. Bueno, eso fue fácil.

Gravedad de velocidad finita:

Bueno, mientras la masa total de la distribución no cambie, y permanezca esféricamente simétrica, y su centro no se mueva, y no se expanda tanto como para que la partícula de prueba termine dentro de ella, simplemente se mantiene comportándose como una masa puntual en su centro en todo momento. Por lo tanto, no importa qué tan rápido se propague la señal, la aceleración calculada para cualquier momento será válida para todos los tiempos. Pero hay bastantes suposiciones que deben ser válidas antes de que esto pueda usarse. Echemos un vistazo a cada uno.

• La masa total de la distribución no cambia. Bueno, suponer que no hay fuentes o sumideros masivos parece razonable. Hay otra forma en que la masa puede "cambiar", pero está cubierta por uno de los puntos posteriores, así que lo abordaré en un minuto.
• La distribución permanece esféricamente simétrica. Esto es mucho pedir, especialmente porque la asimetría se amplifica en el colapso gravitatorio. Pero en escalas suficientemente grandes, se cree que el Universo es homogéneo, y la homogeneidad implica simetría esférica (para cualquier subvolumen esférico arbitrario de la distribución homogénea). Por lo tanto, es posible que debamos preocuparnos por las escalas pequeñas, pero en escalas grandes estamos bien. Más sobre esto más adelante.
• El centro no se mueve. De nuevo, la homogeneidad nos salva a grandes escalas. La distribución de masa es uniforme (y sigue siendo así), por lo que, por definición, si una parcela de masa se aleja, otra se mueve para ocupar su lugar.
• La partícula de prueba no termina dentro de la distribución de masa. Claramente, una partícula de prueba en el Universo está dentro de la distribución de masa del Universo. Pero si ignoramos la vecindad inmediata de la partícula (entonces, todavía pensando en interacciones a gran escala), entonces esto es seguro.

Ok, entonces parece que todo funciona a gran escala. Entonces, ¿qué necesitamos hacer en una simulación para manejar esto? Como señala John Rennie en su respuesta, usamos la métrica FLRW. Aplicar esto significa que solo necesitamos conocer algunos parámetros (la densidad, o densidad de energía, en diferentes componentes, por ejemplo, materia, radiación,$\Lambda$). Esto da la curvatura global del espacio-tiempo. Dado que la curvatura es la misma en todas partes en un momento dado, no importa qué tan rápido se propague. La curvatura depende del tiempo, pero su evolución temporal se puede calcular independientemente de los detalles de la distribución de masa, siempre que se conserve la homogeneidad a gran escala (como puede ver, si el Universo no es homogéneo a gran escala, los simuladores tienen GRANDES problemas). ). En un motor de simulación como Gadget-2, muchas de las complicaciones de calcular en una métrica en expansión se eliminan al transformarse en "coordenadas móviles". Esto no afecta la solución, solo hace que sea más fácil de calcular. La solución física se puede recuperar haciendo la transformación inversa de nuevo a "coordenadas adecuadas".

Ok, ¿qué pasa a nivel local, donde las cosas se vuelven heterogéneas? Resulta que todavía no necesitamos preocuparnos por la velocidad de la gravedad, según un poco de análisis de errores. Considere un par de partículas simuladas. La relación entre la aceleración que siente una de las partículas si la gravedad es una velocidad infinita y la aceleración que sentiría si hubiera una velocidad finita es (considerando solo la magnitud):

$$\frac{a_{inf}}{a_{fin}} = \frac{r(t-\Delta t)^2}{r(t)^2}$$ donde: $$\Delta t = \frac{r(t-\Delta t)}{c}$$ y $c$es la velocidad de la gravedad. En otras palabras, la aceleración debida a la otra partícula donde se encuentra ahora se compara con la aceleración debida a la otra partícula donde se encontraba cuando se emitió su "señal gravitacional". A primer orden en $\Delta t$, la posición donde estaba la partícula y donde está están relacionados por: $$r(t-\Delta t) = r(t)-v(t-\Delta t)\Delta t$$ Juntando todo esto obtenemos: $$\frac{a_{inf}}{a_{fin}} = \left(1+\frac{v(t-\Delta t)}{c}\right)^{-2}$$ Entonces, mientras las partículas no se muevan relativistamente (con respecto a la velocidad de la gravedad, que podría ser diferente de la velocidad de la luz), el error en el que se incurre es bastante pequeño (es decir, bastante pequeño en comparación con algunos de los otros errores que aparece en el cálculo). De hecho, las cosas son incluso mejores que esto. Al considerar una simulación completa, de lo que tendría que preocuparse no son tanto las partículas relativistas individuales, sino los cambios relativistas en las distribuciones de materia. Y resulta difícil encontrar mecanismos que puedan impulsar cambios tan rápidos en escalas significativas para la cosmología. Dado que básicamente el único mecanismo con el que trabajar es la gravedad, necesitaría cambiar distribuciones de masa relativistas para impulsar cambios relativistas en otras distribuciones de masa. Ya que no hay

Finalmente, una palabra sobre horizontes. Los tiempos (factores de escala/desplazamientos al rojo) probados por simulaciones cosmológicas típicas son lo suficientemente tardíos como para que la escala del horizonte sea lo suficientemente grande como para que se mantenga la homogeneidad en su interior. Esto significa que los horizontes tienen poca importancia ya que, en una buena aproximación, cualquier fuerza adicional de alguna masa que ingrese al horizonte de un observador en un punto será compensada por la misma cantidad de masa que ingresa diametralmente a través del horizonte. No hay cambios repentinos en el potencial, que es lo que nos preocuparía si la velocidad de la gravedad fuera finita.