¿Por qué el radio clásico del electrón, el radio de Bohr y la longitud de onda Compton de un electrón están relacionados entre sí?

Question

¿Por qué el radio clásico del electrón, el radio de Bohr y la longitud de onda Compton de un electrón están relacionados entre sí?

Asmaier

Usando la definición de la constante de estructura fina $\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \hbar c}$ y la longitud de onda Compton de un electrón $\lambda_c = \frac{h}{m_e c}$ el radio clásico del electrón $r_e$ y el radio de Bohr $a_0$ se puede expresar como

r_{mi} = α \frac{λ_{C}}{2 π}

$r_e = \alpha \frac{\lambda_c}{2\pi}$

a_{0} = \frac{1}{α} \frac{λ_{C}}{2 π}

$a_0 = \frac{1}{\alpha} \frac{\lambda_c}{2\pi}$

Esto significa, por ejemplo, que el radio clásico del electrón se puede expresar en términos del radio de Bohr como $r_e = \alpha^2 a_0$ .

¿No es eso peculiar? ¿Por qué el radio clásico del electrón y la distancia de un electrón al núcleo en un átomo deben estar relacionados entre sí? ¿Y por qué ambos son múltiplos de la longitud de onda de Compton?

Respuestas (5)

¿Por qué el radio clásico del electrón, el radio de Bohr y la longitud de onda Compton de un electrón están relacionados entre sí?

Emilio Pisanty · Answer 1

No es de extrañar que ambos $r_e$ y $a_0$ son múltiplos de la longitud de onda de Compton: dos longitudes positivas cualesquiera son múltiplos entre sí. Si bien es cierto que hay más en esto que esa simple declaración, el hecho esencial es que, dado que esas tres longitudes están compuestas de manera simple y con los mismos ingredientes básicos, hay muy poco margen de maniobra sobre cómo pueden ser diferentes.

Echemos un vistazo a estas cantidades:

λ_{C} = \frac{2 π ℏ}{metro C}, r_{mi} = \frac{{mi}^{2}}{metro C^{2}} y a_{0} = \frac{ℏ^{2}}{metro {mi}^{2}},

$\lambda_C=\frac{2\pi\hbar}{mc},\,\, r_e=\frac{e^2}{mc^2}\text{ and }a_0=\frac{\hbar^2}{m e^2},$ en unidades gaussianas, donde

m

$m$ es la masa del electrón.

$%These are, respectively, the characteristic length scales of the photon momentum that matches an electron, the electron's rest mass as electrostatic energy, and the basic quantum mechanical electrostatic problem for the electron.$

Tenga en cuenta que todos son inversamente proporcionales a la masa en reposo de los electrones, aunque por diferentes razones: los electrones más pesados requerirían fotones más fuertes para desviarlos; tienen una mayor masa en reposo y necesitarían una carga esférica más compacta para igualar; y un mayor $m$ reduce efectivamente $\hbar$ en la ecuación de Schrödinger hidrogenada, lo que dificulta llegar al régimen cuántico.

Dado eso, tienes tres longitudes que están determinadas por las tres constantes $\hbar$ , $c$ y $e$ . Esas son constantes suficientes para hacer tres longitudes diferentes, pero son lo suficientemente pocas como para que cualquier cociente deba ser una función de la combinación adimensional única de estas constantes: la constante de estructura fina,

α = \frac{{mi}^{2}}{ℏ C} .

$\alpha=\frac {e^2} {\hbar c}.$ Por lo tanto, es necesario que dos cualesquiera de estas tres longitudes sean múltiplos de la tercera y de

α^{\pm 1}

$\alpha^{\pm1}$ (módulo

2 π

$2\pi$ ).

Esta constante, sin embargo, es particularmente importante. Es la medida natural de la fuerza de las interacciones electromagnéticas: da, como un número puro, el acoplamiento electromagnético $e^2$ entre dos cargas unitarias, en unidades relativistas naturales donde $\hbar=c=1$ . Por lo tanto, si bien las relaciones que comenta son algebraicamente necesarias, no significa que estén desprovistas de contenido físico:

$r_e=\alpha \lambda_C/2\pi$ dice que para un QED que interactúa más fuertemente, un electrón esférico más débilmente unido sería suficiente para igualar la energía de la masa restante.
$a_0=\frac 1\alpha \lambda_C/2\pi$ dice que para un QED de interacción más fuerte, el protón mantendría su electrón hidrogenado en órbitas más estrechas.

De hecho, ambos se expresan de manera más natural en términos de la longitud de onda de Compton, ya que es la característica escala cuántica-relativista de longitud del electrón, y no depende de ninguna interacción física particular, mientras que los otros dos sí lo hacen, y por lo tanto se obtienen a partir de el primero a través de la fuerza de esa interacción.

Este "recurso a la naturalidad" es lamentablemente engañoso e incompleto. Más allá del hecho de que las proporciones adimensionales pueden ser números trascendentales arbitrarios como $ζ(1/2)$ , $γ_e$ , $ζ(3/2)$ , $ζ(4)$ , $γ$ , $δ$ , o incluso $g_e = \sqrt{4π α}$ (todos los cuales surgen en la física), esta numerología ignora por completo la relación definitoria entre $r_e$ y $ƛ_e$ (y entre $a_0$ y $\frac{1}{4π R_∞}$ ) que explica la $α$ sin agitar las manos.

fqq · Answer 2

Las tres longitudes que está considerando se construyen usando solo el $e$ , $m_e$ y las constantes fundamentales. Si observa las definiciones, puede notar que todas tienen la forma $\frac{something}{m_e}$ .

Está claro entonces que puede obtener una longitud de las otras simplemente multiplicando por algún factor de $e$ y constantes fundamentales; como todas las cantidades son longitudes, el factor debe ser adimensional: debe ser una potencia de $\alpha$ , por algún número.

El $2\pi$ factores provienen del hecho de que $\lambda_C$ implica $h$ y los otros $\hbar$ .

Esto no explica nada. Siendo "un poder de $α$ por algún número" es trivialmente cierto para cada relación, incluida la relación entre la masa de la Tierra y la de Júpiter.

alexchandel · Answer 3

Por que $r_e = α \frac{λ}{2π} = α^2 a_0 = \frac{α^3}{4πR_∞}$ ? No se requiere apelar a la numerología oa la "naturalidad".

0) Definiciones

Primero, cambie a la longitud de onda Compton "reducida" o "angular" :

ƛ = \frac{λ}{2 π} = \frac{ℏ}{metro C}

$ƛ=\frac{λ}{2π}=\frac{ℏ}{m c}$

Del mismo modo, defina la longitud de onda de Rydberg "reducida" , como $R_∞$ tiene dimensiones de número de onda lineal :

ƛ_{\infty} = \frac{1}{2 π R_{\infty}}

$ƛ_∞=\frac{1}{2πR_∞}$

La igualdad ahora dice:

r_{mi} = α ƛ_{mi} = α^{2} a_{0} = α^{3} \frac{ƛ_{\infty}}{2}

$r_e = α ƛ_e = α^2 a_0 = α^3 \frac{ƛ_∞}{2}$

Por último, recuerde la constante de estructura fina $α$ se define como la relación de

la distancia entre dos cargas unitarias cualesquiera
la longitud de onda reducida de un fotón cuya energía es igual a la energía potencial de las cargas

α = \frac{r}{ƛ}, w h mi norte V (r) = ℏ C / ƛ

$α=\frac r ƛ, \mathrm{when}\;V(r)=ℏc/ƛ$

1) $r_e$ contra $ƛ_e$

El radio clásico del electrón $r_e$ es la separación entre dos cargas unitarias , tal que su energía potencial es igual a la energía en reposo del electrón , $V(r_e)=m_e c^2$ .
La longitud de onda Compton reducida del electrón $ƛ_e$ es la longitud de onda reducida de un fotón que iguala la energía en reposo del electrón , $ℏc/ƛ_e=m_e c^2$ .

Entonces $V(r_e) = ℏc/ƛ_e$ . Su proporción se define como

\frac{r_{mi}}{ƛ_{mi}} = α

$\frac{r_e}{ƛ_e}=α$

2) $a_0$ contra $ƛ_∞$

La energía de Rydberg es la mitad de la energía potencial de dos cargas unitarias separadas por un radio de Bohr $a_0$ . (Solo la mitad, porque $hcR_∞$ se definió como la energía de ionización, que según el teorema virial es la mitad del potencial).

Entonces $V(a_0)=2ℏc/ƛ_∞$ . Su proporción se define como

\frac{a_{0}}{ƛ_{\infty} / 2} = α

$\frac{a_0}{ƛ_∞/2}=α$

3) $ƛ_e$ contra $a_0$

No tan claro. $ƛ_e$ no corresponde a ninguna separación de carga bien conocida para la cual $a_0$ podría ser la longitud de onda reducida del fotón. El modelo de Bohr deriva $a_0$ por métodos casualmente erróneos, pero no ofrece ayuda aquí. En su lugar, utilice QM. Griffith (4.53) da la ecuación radial de Schrödinger para el hidrógeno es

mi tu (r) = - \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{mi}} + (- \frac{α ℏ C}{r} + \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{mi}} \frac{yo (yo + 1)}{r^{2}}) tu (r), tu (r) = r R (r), ψ (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ)

$E\,u(r) = -\frac{ℏ^2}{2m_e} + \left(-\frac{α ℏ c}{r} + \frac{ℏ^2}{2m_e} \frac{l(l+1)}{r^2}\right)u(r),\quad u(r)=r\,R(r),\quad ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)$

Primero, ordene expresando la energía total (negativa) como el número de onda angular $κ=ƛ^{-1}$ de un electrón libre (4.54),

mi = - \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}} = - \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 (\frac{ℏ}{ƛ_{mi} C})} = - k^{2} \frac{ℏ C ƛ_{mi}}{2},

$E = -\frac{ℏ^2 κ^2}{2m_e} = -\frac{ℏ^2 κ^2}{2(\frac{ℏ}{ƛ_e c})} = - κ^2 \frac{ℏ c ƛ_e}{2},$

cambiando a unidades electrónicas ( $r = \hat{r} ƛ_e$ , $κ = \hat{κ} / ƛ_e$ , $u(r) = u(ƛ_e \hat{r})$ ),

- {\hat{k}}^{2} \frac{ℏ C}{2 ƛ_{mi}} tu (r) = - \frac{ℏ C}{2 ƛ_{mi}} {tu}^{″} (r) + (- \frac{α ℏ C}{ƛ_{mi} \hat{r}} + \frac{ℏ C}{2 ƛ_{mi}} \frac{yo (yo + 1)}{{\hat{r}}^{2}}) tu (r),

$-\hat{κ}^2 \frac{ℏ c}{2 ƛ_e} u(r)= -\frac{ℏ c}{2 ƛ_e} u''(r) + \left(-\frac{α ℏ c}{ƛ_e \hat r} + \frac{ℏ c}{2 ƛ_e} \frac{l (l+1)}{\hat{r}^2}\right)u(r),$

y reuniendo términos para la masa-energía del electrón ( $E_e = m_e c^2 = ℏ c / ƛ_e$ ),

- {\hat{k}}^{2} \frac{{mi}_{mi}}{2} tu (r) = - \frac{{mi}_{mi}}{2} {tu}^{″} (r) + {mi}_{mi} (- \frac{α}{\hat{r}} + \frac{yo (yo + 1)}{2 {\hat{r}}^{2}}) tu (r) .

$-\hat{κ}^2 \frac{E_e}{2} u(r)= -\frac{E_e}{2} u''(r) + E_e \left(-\frac{α}{\hat r} + \frac{l (l+1)}{2\hat{r}^2}\right)u(r).$

Ahora configura $l=0$ y aplicar el teorema del virial (4.190, 4.191, $2⟨T⟩=⟨\vec r · \vec ∇ V⟩=⟨-V⟩=-2 E$ ) Llegar

⟨ mi ⟩ = ⟨ T ⟩ + ⟨ V ⟩ = - {\hat{k}}^{2} \frac{{mi}_{mi}}{2} = \frac{{mi}_{mi}}{2} - {mi}_{mi} ⟨ \frac{α}{\hat{r}} ⟩,

$⟨E⟩ = ⟨T⟩ + ⟨V⟩ = -\hat{κ}^2 \frac{E_e}{2} = \frac{E_e}{2} - E_e ⟨\frac{α}{\hat r}⟩,$

luego reste el término cinético, divida por $-E_e$ , cambie de número de onda a longitud de onda (para mayor claridad), y sin pérdida de generalización, deje $⟨\frac{1}{\hat r}⟩ = \frac{1}{\hat r}$ ,

- {\hat{k}}^{2} {mi}_{mi} = - {mi}_{mi} ⟨ \frac{α}{\hat{r}} ⟩, {\hat{k}}^{2} = ⟨ \frac{α}{\hat{r}} ⟩, \frac{1}{{\hat{ƛ}}^{2}} = \frac{α}{\hat{r}} .

$-\hat{κ}^2 E_e = - E_e ⟨\frac{α}{\hat r} ⟩,\quad \hat{κ}^2 = ⟨\frac{α}{\hat r}⟩,\quad \frac 1 {\hat{ƛ}^2} = \frac{α}{\hat r}.$

En principio estos podrían tomar cualquier valor, pero la solución (4.68) requiere que $ƛ=\hat r$ en el estado propio más bajo. De este modo $\hat r = 1/α$ (generalmente $ƛ=n/Zα$ , $r=n^2/Z^2α$ ).

fffred · Answer 4

Con respecto a la longitud de onda Compton $\lambda_c$ y el radio del electrón clásico $r_e$ , puedes sintetizar de esta manera:

h v = {metro}_{mi} C^{2} = \frac{{mi}^{2}}{4 π ε_{0} a_{0}}

$h\nu=m_ec^2=\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0\, a_0}$ La primera igualdad representa la interacción entre un fotón y un electrón que transfieren su energía de uno a otro (dispersión Compton). Esto da la longitud de onda compton, rango típico de la interacción electrón-fotón.

La segunda igualdad representa la energía del electrón igualando la energía potencial que experimentaría en el potencial eléctrico clásico de una carga puntual (otro electrón por ejemplo). Esto da el radio clásico del electrón, que interpretaría como el rango típico para la interacción electrón-electrón.

Así, la relación entre $\lambda_c$ y $r_e$ es $\alpha$ porque es una medida de la fuerza de la interacción electrostática.

Ahora, no estoy seguro acerca de la parte del radio de Bohr. Esto no es tan directo porque implica la cuantificación del momento angular.

Riad · Answer 5

La constante de estructura fina no obtuvo su nombre al azar. Representa el tamaño de los bloques de construcción de la naturaleza para la 'estructura de la materia'. Así como usamos el gramo en unos trabajos pequeños y el kilogramo en otros mientras que para un tercio se necesita una tonelada y así sucesivamente, lo mismo sucede en el mundo subatómico. El radio de Bohr representa el átomo y es 137 (aproximadamente) veces el tamaño del radio de Compton que se presenta al considerar las propiedades magnéticas del electrón junto con la velocidad de rotación en el átomo, y esto a su vez es 137 veces el radio clásico que tiene que ver con la carga y la energía del electrón. Para los que tienen mentalidad de QM, el radio de Bohr es cuando se establecen los efectos cuánticos, el radio de Compton es cuando el comportamiento de onda del electrón se hace evidente, mientras que el radio clásico es cuando se necesita una nueva normalización, es decir, cuando se alcanza un borde y el punto donde las integrales de energía comienzan a divergir. Para obtener el radio clásico del electrón re= e^2/4πε0 mc^2, donde e,m son la carga y la masa del electrón, tome un electrón en reposo en el laboratorio y otro en el infinito con velocidad máxima c (o muy cerca lo). El electrón pierde todo su movimiento/energía cinética debido a la repulsión cuando alcanza el electrón estático, por lo que este radio representa la distancia más pequeña que dos electrones pueden estar juntos, ya que c es un límite de velocidad. Para el radio Compton (longitud de onda Compton/2π) rc=h/2πmc, considere dos fotones y un electrón en producción de pares o, alternativamente, considere el momento magnético derivado de una carga que gira para crear el dipolo magnético del electrón. Para el radio de Bohr rb = h^2 ε0 /π me^2; Tome la fuerza centrífuga igual a la fuerza de atracción eléctrica estática en el átomo. La relación de cualquiera de los dos números anteriores es la constante de estructura fina α=e^2/ε0 hc; y lo que llama la atención es que este número es adimensional, y los tres radios de electrones se obtienen en procesos independientes, ¡y que esta relación es exacta!... es decir, independiente de los valores experimentales.

¿Por qué el radio clásico del electrón, el radio de Bohr y la longitud de onda Compton de un electrón están relacionados entre sí?

Asmaier

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Emilio Pisanty

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fqq

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0) Definiciones

1) $r_e$ contra $ƛ_e$

2) $a_0$ contra $ƛ_∞$

3) $ƛ_e$ contra $a_0$

fffred

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La constante de estructura fina

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0) Definiciones

1)rmi r mi r_econtraƛmi ƛ mi ƛ_e

2)a0 a 0 a_0contraƛ∞ ƛ ∞ ƛ_∞

3)ƛmi ƛ mi ƛ_econtraa0 a 0 a_0

fffred

Riad

1) $r_e$ contra $ƛ_e$

2) $a_0$ contra $ƛ_∞$

3) $ƛ_e$ contra $a_0$