Transiciones en QM

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1\right\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1\right|}$Sí, una interacción con una radiación electromagnética puede hacer que los electrones cambien de nivel de energía. Entonces puede ver que el electrón se encuentra en una superposición de estados (niveles de energía), la interacción con la radiación conduce a una probabilidad de transición distinta de cero. Un electrón siempre puede caer a un nivel de energía más bajo aunque no interactúe con ningún campo (este es el principio de emisión espontánea), pero no puede pasar a un nivel de energía más alto sin interacción.

Aquí daré algunas motivaciones para la derivación de la probabilidad de transición del primer estado excitado al estado fundamental en un enfoque no relativista. Consideramos una transición entre un estado inicial$\ket{i,1}$que definimos como el primer estado excitado, y un estado final$\ket{f,0}$que es aquí el estado fundamental para las simplificaciones. Sin pérdida de generalidad, podemos considerar que el campo eléctrico oscilante está a lo largo de la dirección x, de modo que$E(t) = |E_0|cos(\omega t) \hat{e_x}$. Para una carga, la interacción hamiltoniana viene dada por$\hat{H_I} = -e\hat{x}|E_0|cos(\omega t)$dónde$\hat{x}$representa el operador de posición. Esta forma de la interacción hamiltoniana se deriva utilizando una expansión de Taylor al orden cero del dipolo eléctrico y se denomina aproximación del dipolo eléctrico. Nosotros notamos$\hat{H_0}$el hamiltoniano para el átomo sin interacción y dejamos sus valores propios$E_n^{(0)}$ser dado por$\hat{H_0}\ket{E_n^{(0)}} = E_n^{(0)}\ket{E_n^{(0)}}$.

Lo siento, esto es bastante lío matemático solo para definir algunas notaciones, pero no contiene ningún interés físico. ¡Aquí vamos! En la teoría de la perturbación dependiente del tiempo a primer orden, se obtiene que la probabilidad de transición de$\ket{i,1}$a$\ket{f, 0}$en el momento$t$es dado por

$$P_{i->f}(t) = \Bigl|\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}dt'e^{i(E_f^{(0)} - E_i^{(0)})t'/\hbar}\bra{E_f^{(0)}}\hat{H_I}\ket{E_i^{(0)}}\Bigr|^2$$ y después de un poco de álgebra en nuestro caso se encuentra que $$P_{i->f}(t) = \frac{e^2|E_0|^2}{2m\hbar\omega_0}\frac{1}{(\omega - \omega_0)^2}sin^2(\frac{\omega - \omega_0}{2}t)$$ dónde $\omega_0$es la frecuencia definida como $\omega_0 = (E_f^{(0)} - E_i^{(0)})/\hbar$y puede interpretarse como la frecuencia angular de un oscilador armónico (ya que el campo electromagnético en ausencia de carga puede verse como una colección de osciladores armónicos independientes).

Para darle algún sentido a este resultado agrego una figura del muy buen libro "A Modern Approach to Quantum Mechanics" de Townsend donde$\eta$corresponde a$\omega - \omega_0$.

Como puede ver, la probabilidad de transición se centra en el valor$\omega = \omega_0$con un pico estrecho dependiendo del tiempo. La transición de un estado a otro puede despreciarse excepto cuando estamos cerca de la condición de resonancia.$\omega \rightarrow \omega_0$.

Entonces, para responder a sus preguntas, cuando la frecuencia del campo eléctrico inducido se acerca a la frecuencia de resonancia, la probabilidad de transición tiene valores no despreciables. Luego, puede ver que el electrón se encuentra en una superposición de estados, ya que los estados tienen valores de probabilidad distintos de cero. Podríamos haber hecho una derivación un poco más complicada para una transición entre cualquier nivel de energía. En este caso, si el electrón pasa a un estado de mayor energía esto se conoce como absorción (porque la energía necesaria para la transición proviene de un fotón absorbido), y cuando pasa a un estado de menor energía es la emisión estimulada.. Por lo tanto, la tasa de transición estimulada generalmente se define como la probabilidad de transición por unidad de tiempo cuando el átomo interactúa con un campo electromagnético. Sin embargo, un electrón puede saltar a un estado de menor energía incluso sin interacción con un campo externo. Esto se llama emisión espontánea y se puede derivar de una manera bastante similar.

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EDITAR: respondo la pregunta que hiciste en los comentarios aquí para poder escribir un texto largo.

Usted hace una pregunta muy interesante y una respuesta completa probablemente requeriría la teoría cuántica de campos, donde uno puede ver un electrón como una partícula cargada rodeada por una "nube" de partículas virtuales como fotones. Las interacciones se describen luego como intercambios de partículas virtuales. Incluso sin la descripción de QFT, se pueden utilizar diferentes enfoques para describir la interacción entre el campo EM y un átomo.

En una teoría completamente cuantificada (donde el campo EM y el átomo se tratan mecánicamente cuánticamente) hay un acoplamiento entre las transiciones atómicas y el campo EM como traté de mostrar en mi respuesta.

Usando una teoría clásica (donde tanto el campo EM como el átomo se tratan de manera clásica), la interacción induce un momento dipolar oscilante cuya frecuencia determina las tasas de absorción y emisión estimulada. Sin embargo, esta oscilación todavía existe (aunque de manera diferente) en ausencia de un campo externo, por lo que existe un acoplamiento entre el átomo inicialmente excitado y el campo EM de vacío. Entonces también se permite la emisión espontánea, como en la descripción completamente cuantificada. Desde este punto de vista, se puede decir que si el átomo se excita inicialmente, entonces tiene un momento dipolar oscilante incluso sin ninguna exposición a la radiación EM. El átomo puede así producir una radiación EM si transita de un nivel de energía a uno más bajo.

Espero que responda a sus preguntas. Si quieres una mejor comprensión puedes leer los capítulos 2 y 4 de “ La teoría cuántica de la luz ” de R. Loudon. Te deseo todo lo mejor con la teoría de la perturbación :)

Si, absolutamente. Todo lo que hace la materia en sus interacciones con la luz térmica ordinaria puede entenderse desde el punto de vista de la luz que lleva a la materia a un estado con densidad de carga oscilante. La posterior absorción o dispersión de la luz incidente se puede calcular correctamente utilizando las ecuaciones de Maxwell para calcular el campo electromagnético resultante como la superposición del campo incidente más el nuevo campo generado por la carga oscilante.

Lo único que está mal con su descripción es que realmente no hay necesidad de asumir que el efecto debe ser llevar la materia a un estado propio puro. Es mucho más normal que la materia sea conducida a una superposición y luego vuelva a irradiar su exceso de energía hacia el campo sin llegar nunca al nivel puro de un estado excitado. O incluso regresar necesariamente al estado fundamental antes de ser re-conducido a una nueva superposición.

Todo el proceso es puramente continuo y no ayuda en lo más mínimo tratar de analizarlo en términos de transiciones discretas. Sí, también puedes hacerlo de esa manera, con fotones y saltos cuánticos, y es matemáticamente correcto, pero oscurece totalmente la física de lo que realmente está sucediendo.

Hablo de todo esto en mi blog, " Por qué odio la física ".

EDITAR: Por supuesto, no siempre es un momento dipolar eléctrico. A veces es un momento magnético oscilante, como en la línea de hidrógeno de 21 cm. Y a veces es incluso un momento cuadripolar. Esas transiciones son, por supuesto, mucho más débiles que las transiciones del dipolo eléctrico.

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