¿Por qué el período orbital no depende del eje semi-menor?

En la Tercera Ley de Kepler, el período orbital está descrito por

T = 2 π a 3 m

dónde a es la longitud del semieje mayor. Me pregunto, ¿por qué la longitud del eje semi-menor no afecta el período orbital?

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En esta imagen, tenemos un eje semi-mayor ( a ) con longitud 2 , mientras que el eje semi-menor b tiene la longitud 1 . La circunferencia de una elipse se puede simplificar a

tu = π × 2 × ( a 2 + b 2 )

Para nuestra elipse, se trata de 9.935 .

Si estiramos el eje semi-mayor a 1.8 , obtenemos una elipse más cerca de un círculo:

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Esta elipse tiene una circunferencia de aproximadamente 11.955 que es notablemente más largo que la circunferencia de la elipse.

Entonces, ¿por qué la órbita de, digamos, un planeta que orbita alrededor de una estrella, sigue siendo la misma independientemente de la longitud del eje semi-menor?

La velocidad es diferente en diferentes puntos de la órbita.

Respuestas (1)

Aunque la expresión de la tercera ley de Kepler que mostraste es la más común, puedes usar el hecho de que b = a 1 − mi 2 , y con eso, la ley de Kepler dice

T = 2 π b 3 m ( 1 − mi 2 ) 3 / 2
y podría cambiar su pregunta a "¿por qué no depende del eje semi-mayor?"

Creo que el punto clave es usar también la segunda ley de Kepler. La velocidad a lo largo de la órbita no es constante, el cuerpo es más lento a medida que se aleja del cuerpo central, y esto hace que se conserve la energía. Se puede demostrar que la energía orbital total solo depende del semieje mayor:

mi metro = ϵ = − m 2 a
Y con esto, el período es
T = − π 2 m 2 4 ϵ 3
Entonces, el hecho de que el período sea el mismo para dos órbitas con el mismo semieje mayor pero diferente excentricidad proviene del hecho de que sus energías son las mismas.

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