Producto escalar de estados coherentes

Suponemos por simplicidad que tenemos un oscilador 1D, pero esta es una pregunta sobre el CCR general en osciladores, segunda cuantización, teoría cuántica de campos, etc.

Sabemos que los estados coherentes forman una base sobrecompleta no ortonormal. Sabemos que satisfacen A | α >= α | α > , dónde | α >= mi − | α | 2 2 mi α A + Ψ 0

¿Cómo podemos calcular un producto escalar genérico entre dos estados coherentes diferentes con valores propios? α y β ?

mi − | α | 2 + | β | 2 2 Ψ 0 mi β A mi α A + Ψ 0

Comience con una expansión de Taylor, es decir, Exp ( α a † ) | 0 ⟩ = ∑ norte α norte norte ! ( a † ) norte | 0 ⟩ (¡y recuerda que los estados numéricos son ortogonales!)
@wsc Entonces obtendré mi − | α | 2 + | β | 2 2 mi β ^ α ?
si por ese sombrero te refieres al conjugado de β , sí... Ahora, ¿se te ocurre una forma más sugerente de escribirlo?
en realidad eso fue bastante vago, y es difícil a menos que sepas lo que estoy buscando. El punto es que también puedes escribirlo como Exp ( − | α − β | 2 ) , que le permite interpretar el espacio de estados coherentes un poco más gráficamente, en mi opinión.
Estimado wsc, no es cierto que − ( | a | 2 + | b | 2 ) / 2 + b ∗ a = − | a − b | 2 . En primer lugar, falta un factor de dos. En segundo lugar, el lado izquierdo tiene b ∗ a en lugar de su parte real, ( b ∗ a + a ∗ b ) / 2 , que aparece en el lado derecho. Debido a que esas expresiones cuadráticas aparecen en el exponente, su diferencia, que es un número puramente imaginario, solo cambia la fase del resultado. Entonces, su último resultado geométrico está bien hasta una fase incorrecta del producto interno. Solo para estar seguro, la respuesta de Boy 3 comentarios más arriba es exactamente correcta.
¡Oh! ¡Ups! Gracias, @Lubos, estaba pensando en el resultado para | ⟨ β | α ⟩ | 2

Respuestas (2)

El cálculo se puede realizar alternativamente en la representación de Bargmann del oscilador armónico. A continuación, se describirá en esta representación la evaluación del producto interno requerida. En mi opinión, este método es computacionalmente superior, así como muchas otras ventajas. Este método se basa en el isomorfismo entre los espacios de Hilbert L 2 ( R ) y el espacio de Bargmann de funciones analíticas en C con respecto al producto interior

( F , gramo ) = 1 2 π ∫ C F ( z ) gramo ( z ) ¯ Exp ⁡ ( − z z ¯ ) d z d z ¯

(El isomorfismo viene dado explícitamente por medio de la transformada de Bargmann)

En la representación de Bargmann, el operador de creación está representado por la multiplicación por z y la derivada del operador de aniquilación con respecto a z y el estado de vacío por la función unitaria constante (y, por cierto, las funciones propias de energía del oscilador armónico por los monomios z norte - hasta una normalización). Por lo tanto, la α estado coherente está representado por:

ψ α ( z ) = Exp ⁡ ( − | α | 2 2 ) Exp ⁡ ( α ¯ z )

y el producto interior viene dado por tanto por:

( ψ β , ψ α ) = Exp ⁡ ( − ( | α | 2 + | β | 2 ) 2 ) 2 π ∫ C Exp ⁡ ( β ¯ z ) Exp ⁡ ( α z ¯ ) Exp ⁡ ( − z z ¯ ) d z d z ¯ = Exp ⁡ ( − ( | α | 2 + | β | 2 ) 2 ) Exp ⁡ ( β ¯ α )

La integral se evalúa fácilmente mediante la traducción de coordenadas y la terminación de cuadrados.

Este ejemplo es un prototipo de cuantización en polarización Kahler.

Utilice las identidades de Baker-Campbell-Hausdorff. Son tus mejores amigos para esto. Dos enlaces, por ejemplo:

Wikipedia tiene una página , que tiene un ejemplo bajo el título "Aplicación en mecánica cuántica" que es más o menos lo que necesita.

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