¿Cuándo hay suficientes Casimiros?

Aquí solo discutiremos el caso de representaciones irreducibles (irreps) de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple compleja$L$.

Recuerda que el conjunto$Z$de las invariantes de Casimiro es el centro $Z(U(L))$del álgebra envolvente universal $U(L)$, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

La pregunta de OP se responde sin prueba en la p. 253 en Ref. 1:

Teorema 2. Para todo álgebra de Lie semisimple$L$de rango$r$, existe un conjunto de$r$polinomio invariante del generador$t_a$, cuyos valores propios caracterizan las representaciones irreducibles de dimensión finita.

Árbitro. 2 (que es uno de los libros más importantes sobre álgebras de Lie, al menos si uno está interesado en las demostraciones) no se molesta en mencionar explícitamente el Teorema 2. Sin embargo, es posible encadenar un conjunto de resultados más fundamentales (y sus pruebas) de la Ref. 2 para obtener el resultado buscado. Describimos la estrategia de prueba a continuación.

Recordemos además que hay asociado un sistema raíz $\Phi$al álgebra de mentira$L$, e imaginemos que hemos escogido una base$\Delta$por$\Phi$. El orden$|W|$del grupo Weyl $W$es igual a las elecciones posibles de bases (no ordenadas) e igual a las elecciones posibles de cámaras de Weyl (fundamentales) .

Está probado en los capítulos 20-21 de la Ref. 2. que un irrep de dimensión finita tiene un vector de peso más alto único (único hasta la normalización) con algún peso integral dominante $\lambda$. De ahora en adelante denotaremos tal irrep$V(\lambda)$. (Ref. 2. también define una noción de un peso más alto irrep$V(\lambda)$cuando$\lambda$es integral pero no dominante. Tales irreps son necesariamente de dimensión infinita, por lo que los ignoraremos.) De ello se deduce que

dos irrepetibles$V(\lambda)$y$V(\mu)$son equivalentes (es decir, isomorfos) si sus pesos más altos son iguales$\lambda=\mu$.

Como consecuencia del teorema de Harish-Chandra , el conjunto$Z$de Casimirs toma el mismo valor en dos irreps de mayor peso$V(\lambda)$y$V(\mu)$si y si$\lambda+\delta$y$\mu+\delta$pertenecen a la misma órbita de Weyl,

Aquí$\delta$es la mitad de la suma de las raíces positivas. Sin embargo, si ambos pesos integrales$\lambda$y$\mu$son dominantes, entonces$\lambda+\delta$y$\mu+\delta$ambos deben pertenecer a (el interior de) la cámara fundamental de Weyl, de modo que el reflejo de Weyl$\sigma={\bf 1}$debe ser el elemento de identidad. En conclusión, obtenemos que

El conjunto$Z$de Casimirs toma el mismo valor en dos irreps de dimensión finita$V(\lambda)$y$V(\mu)$si sus pesos más altos son iguales$\lambda=\mu$.

El teorema de Harish-Chandra se demuestra en el capítulo 23 de la Ref. 2. Consulte también esta y esta publicación relacionada con Math.SE.

Ejemplo: Considere el álgebra de Lie$L=sl(3,\mathbb{C})$. El grupo de Weyl es$S_3$. El álgebra de la mentira$L$tiene dos invariantes de Casimir independientes$C_2$y$C_3$,

Considere la representación fundamental tridimensional$F$y la representación dual/contragrediente$\bar{F}$de$L$, que son irreps no equivalentes. tienen los pesos mas altos$\lambda=(1,0)$y$\mu=(0,1)$, respectivamente. En detalle, si$t_a$,$a=1, \ldots, 8$son generadores de$L=sl(3,\mathbb{C})$, entonces (consejo: Peter Kravchuk)

para que los Casimiros$C_2$(y$C_3$) toma el mismo valor (opuesto) en$F$y$\bar{F}$

Se puede probar que los valores son distintos de cero, por lo que los Casimiros$C_2$y$C_3$distinguir entre los dos irreps no equivalentes$F$y$\bar{F}$, como deberían.

Referencias:

1. AO Barut y R. Raczka, Teoría de las representaciones y aplicaciones de grupos, 2ª ed., 1980.

2. JE Humphreys, Introducción a Lie Algebras and Representation Theory, (1980).

Se puede demostrar (teorema de Racah) que el número de operadores de Casimir es el mismo que el rango del álgebra (número de generadores que conmutan simultáneamente). Esto es al menos cierto para álgebras semi simples.