¿Por qué el dipolo es la fuente más simple en electrodinámica?

La unidad radiante más pequeña es un momento dipolar acelerador . Por supuesto, eso puede ser producido por una sola carga acelerada, que puede hacerse equivalente a un dipolo oscilante.

$$\ddot{p} = q\ddot{r},$$ dónde $r$es un desplazamiento de la carga alrededor de algún punto fiduciario.

No obtienes un campo de radiación a menos que la partícula cargada esté acelerando y debido a esto, la "fuente" de radiación tiene que tener un tamaño finito. Para una oscilación sinusoidal de amplitud de aceleración${a_0}$, dónde$\ddot{r}= a_0\sin \omega t$, entonces ese tamaño es$a_0/\omega^2$.

Tiene razón en que en la electrodinámica las únicas fuentes reales de radiación son las cargas que se mueven de manera no uniforme. Sin embargo, cuando resuelves los potenciales, obtienes algunas expresiones complejas, los llamados potenciales de Liénard-Wiechert , para los cuales los campos se vuelven expresiones muy complicadas cuando se calculan a partir de ellos. Además, descomponer un sistema arbitrario con carga dada y densidades de corriente en varias cargas puntuales en movimiento se vuelve aún más complicado. Las dificultades que surgen de ellos es que para calcular el vector potencial en el punto$r$y en el momento$t$, tiene que integrarse sobre las posiciones retrasadas específicas de las fuentes en todos los tiempos pasados. Por lo tanto, no es suficiente saber, por ejemplo, las posiciones y velocidades de las cargas en el momento actual (como es suficiente en la mecánica clásica). En esencia, este procedimiento tiene en cuenta todas las fuentes que se encuentran en (la mitad del tiempo pasado del) cono de luz.

Sin embargo, uno podría comenzar con ellos. Seguiremos aquí esencialmente la discusión de JD Jackson, Classical Electrodynamics [Capítulo 9 en la 3ra edición].

El potencial del vector retardado lee (dejando de lado casi todas las constantes)

$$\mathbf A(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \int \mathrm dt' \frac{\mathbf j(\mathbf r',t')}{|\mathbf{r-r'}|} \delta(t'-t+|\mathbf{r-r'}|/c),$$ donde el $\delta$-función es cuidar la mencionada integración a lo largo del cono de luz, donde la elección de los signos en el argumento asegura la causalidad de la solución.

Para distribuciones de corriente y carga dadas, uno puede calcular en principio los campos. Ahora, se supone que las fuentes tienen una cierta dependencia del tiempo (por ejemplo,$\mathrm e^{-\mathrm i \omega t}$) y que están restringidas a una pequeña área en el espacio. Pequeño significa aquí que uno puede asociar una longitud de onda$\lambda$a la dependencia del tiempo,$\lambda =2 \pi c /\omega$, y que las dimensiones de la fuente$d$son mucho más pequeños que esta longitud de onda,$d \ll \lambda$.

Esto conduce a tres regiones espaciales diferentes:

1. zona de campo cercano:$d \ll r \ll \lambda$,
2. zona intermedia:$d \ll \lambda \approx r$,
3. zona de campo lejano:$d \ll \lambda \ll r$.

Resulta que los campos tienen diferentes propiedades en las tres regiones. De interés para la pregunta aquí es solo el último régimen, donde las dimensiones de la fuente pueden despreciarse (asumiendo que uno no se preocupa por la precisión que distinguiría los efectos del campo en el punto$\mathbf r$y un punto situado a una distancia menor que$d$cerca de$\mathbf r$; eso es lo que supone$d \ll \lambda$es para).

Entonces podemos aproximar una carga puntual en movimiento oscilante para ser descrita por una densidad de corriente ubicada en un solo punto$\mathbf r_0$con dependencia armónica del tiempo, en la forma

$$\mathbf j (\mathbf r,t) = \mathbf j (\mathbf r) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} = \mathbf j_0 \delta(\mathbf{r-r_0}) \mathrm e^{-\mathrm i \omega t} .$$ El hecho de que la densidad de corriente de una carga puntual se pueda escribir como $\delta$-la función no es importante, también podríamos ceder un poco de corriente extendida $\mathbf j(\mathbf r)$siempre que sea lo suficientemente pequeño de acuerdo con las consideraciones anteriores. El vector potencial se convierte entonces al evaluar el $t$integración y la $\delta$-función, $$\mathbf A(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \frac{\mathbf j(\mathbf r')}{|\mathbf{r-r'}|} \mathrm e^{\mathrm i k |\mathbf{r-r'}|} e^{-\mathrm i \omega t},$$ con $k=\omega/c$.

Una segunda aproximación es que al expandir el vector distancia en el exponencial por

$$|\mathbf{r-r'}| \approx r + \mathbf n \cdot \mathbf r' ,$$ mientras que para la inversa de la distancia en potencias de $1/r$(expansión multipolar habitual), $$\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} = \frac{1}{r} + \frac{\mathbf r \cdot \mathbf r'}{r^3} + \dotsb,$$ mantenemos sólo el orden más bajo. Esto puede sonar extraño para mantener diferentes órdenes en el exponente y en el denominador; en el exponente tenemos la información de fase la cual tiene una variación en el orden de $\lambda$, mientras que la aproximación es del orden de $d$; en la serie del denominador tenemos términos $\sim 1/r^2$, que puede despreciarse en comparación con el término $\sim 1/r$por $r \rightarrow \infty$.

Obtenemos un potencial vectorial de la forma

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') \mathrm e^{-\mathrm i k \mathbf{n \cdot r'}} ,$$ es decir, el potencial vectorial se comporta como ondas esféricas, que dan ondas transversales a los campos. Puedes expandir la exponencial, $$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \sum_n \frac{(-\mathrm i)^n}{n!} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') (k \mathbf{n \cdot r'})^n.$$

$\mathbf{n \cdot r'}$esta en el orden de$d$, de este modo$kd \ll 1$; esto significa que todos los términos de orden superior se hacen más pequeños con mayor$n$(Cuidado con el$1/n!$factor), de modo que el primer término distinto de cero es la contribución dominante.

Entonces, si conservamos solo el primer término en esta expansión, tenemos

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \int \mathrm d^3r' \mathbf j(\mathbf r') .$$ Usando la ecuación de continuidad, $$- \mathrm i \omega \rho + \nabla \cdot \mathbf j =0,$$ e integración por partes para cada coordenada por separado, $$\int \mathrm d^3r' \mathbf j = - \int \mathrm d^3r' \mathbf r' (\nabla \cdot \mathbf j ) = - \mathrm i \omega \int \mathrm d^3r' \mathbf r' \rho (\mathbf r') = - \mathrm i \omega \mathbf p ,$$ dónde $\mathbf p = \int \mathrm d^3r' \mathbf r' \rho (\mathbf r')$es la definición del momento dipolar.

Por lo tanto, el potencial vectorial es de la forma

$$\lim_{r\rightarrow\infty} \mathbf A(\mathbf r,t) = - \mathrm i \omega\frac{\mathrm e^{\mathrm i k r}}{r} e^{-\mathrm i \omega t} \mathbf p ,$$ a partir de la cual se pueden calcular los campos. El campo eléctrico así calculado tiene exactamente la forma del campo de un dipolo ideal (pero oscilante en el tiempo).

También tenemos que analizar el potencial escalar retardado:

$$\phi(\mathbf r,t) = \int \mathrm d^3r' \int \mathrm dt' \frac{\rho(\mathbf r',t')}{|\mathbf{r-r'}|} \delta(t'-t+|\mathbf{r-r'}|/c).$$ La contribución del monopolo se obtiene sustituyendo $|\mathbf{r-r'}|$simplemente por $r$, tal que $$\phi_{\mathrm m}(\mathbf r,t) = q (t-r/c)/r ,$$ dónde $q(t)$es la carga total en función del tiempo. Pero esto, como ya se respondió , se conserva, por lo que el potencial escalar es necesariamente estático .

Resumen: Los campos de una carga en movimiento se pueden aproximar en el campo lejano por el campo de un dipolo.

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Alternativamente, se podría buscar una forma más factible de calcular la radiación de fuentes arbitrarias.

La declaración en las notas del primer enlace que proporcionó se hace en el contexto del formalismo de las funciones de Green , que se analiza en la sección 6.1. Para recordarnos, la función de Green es la solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea (para condiciones de contorno dadas) donde la fuente (= la parte no homogénea) es una$\delta$-función. Cualquier otra solución no homogénea se puede obtener fácilmente a través del principio de superposición integrando (es decir, sumando) la función de Green multiplicada por la solución no homogénea.

Entonces el autor busca una función de Green para la solución de las ecuaciones de Maxwell, las cuales, estando en el calibre de Lorentz, se transforman mediante separación de variables (la variable tiempo se separa y por lo tanto no aparece a continuación) en dos ecuaciones de Helmholtz , uno para el potencial vectorial y otro para el potencial escalar, (dejando de lado todas las constantes)

$$[\nabla^2 + k^2] \phi (\mathbf{r}) = - \rho(\mathbf{r}) ,$$ $$[\nabla^2 + k^2] \mathbf A (\mathbf{r}) = - \mathbf j(\mathbf{r}) .$$ La parte no homogénea de estas ecuaciones de Helmholtz son las fuentes, es decir, las densidades de carga y corriente.

Entonces, para las funciones de Green, estamos buscando la solución de estas ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas en el espacio libre donde las densidades de carga y corriente se describen mediante funciones delta, es decir, ecuaciones de la forma

$$[\nabla^2 + k^2] G (\mathbf{r}, \mathbf r') = - \delta(\mathbf{r-r'}) .$$

Ahora viene el punto crucial: El autor expresa en la Ec. 6.20 la densidad de corriente$\mathbf j(\mathbf r,t)$de un dipolo dependiente del tiempo con la ayuda de la función delta,

$$\mathbf j (\mathbf r, t) = \delta(\mathbf{r-r_0}) \frac{\partial}{\partial t} \mathbf p(t),$$ dónde $\mathbf p(t)$es el momento dipolar dependiente del tiempo, y $\mathbf r_0$es la ubicación del dipolo. Entonces, la función de Green se puede reexpresar (entre la ecuación 6.24 y 6.24) a través del momento dipolar matemático.

Tenga en cuenta que existe una diferencia entre un dipolo físico, que son dos cargas reales separadas por una distancia finita, y un dipolo ideal, que es infinitesimalmente pequeño y, por lo tanto, ¡ubicado en un solo punto!

Para el formalismo de las funciones de Green, no es deseable tener funciones delta 'aceleradoras' (o 'móviles' para el caso) como fuente. ¿Cómo resolverías eso? Probablemente sea posible, pero haría las cosas innecesariamente más difíciles: no podría llevar a cabo la separación de variables para llegar a las ecuaciones de Helmholtz. Por lo tanto, se limita a la carga estacionaria y las densidades de corriente que excluyen la carga de aceleración. Queda con densidades de carga y corriente dependientes del tiempo pero estacionarias (para ser más precisos: la dependencia del tiempo y la dependencia espacial deben ser tales que puedan escribirse como factores independientes, como$\rho(\mathbf r,t) = \rho_0(\mathbf r) R(t)$); una densidad de carga dependiente del tiempo conduciría solo a un potencial eléctrico escalar retardado (y violaría la conservación de carga como se menciona en la otra respuesta ), lo que daría un campo eléctrico fluctuante que no es una onda electromagnética. Sin embargo, la densidad de corriente dependiente del tiempo puede dar lugar a ondas electromagnéticas siempre que la dependencia temporal sea de la forma correcta (es decir, oscilación armónica).

Como la densidad de corriente de un dipolo ideal toma la forma de una función delta, podemos identificar el dipolo ideal como la fuente de la función de Green de la radiación electromagnética en el espacio libre.

Además, como ahora puede descomponer una densidad de corriente arbitraria en una distribución continua de dipolos ideales, puede calcular el patrón de radiación de cualquier distribución de corrientes simplemente integrando las funciones fuente multiplicadas por la función de Green.

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Puede comparar eso con la función de Green en electrostática. Ahí tienes la ecuación de Poisson, (dejando de lado las constantes),

$$\nabla^2 \phi (\mathbf r) = - \rho (\mathbf r) .$$

La función de Green$G(\mathbf{r,r'})$seria la solucion de la ecuacion

$$\nabla^2 G (\mathbf{ r,r'}) = - \delta(\mathbf{ r-r'}) ,$$ para la cual la solución en el espacio libre (las condiciones de contorno cambian la función de Green) es $$G (\mathbf{ r,r'}) = \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} .$$ Luego compara eso con el potencial de una sola carga puntual y encuentra que tienen la misma dependencia funcional. Entonces identificas las cargas puntuales como la fuente básica del campo electrostático.

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En resumen: considerando el hecho de que la función de Green de la ecuación de Helmholtz se puede volver a expresar a través de la densidad de corriente de un dipolo ideal, es plausible identificar el dipolo ideal como el elemento básico de la radiación electromagnética.

Razón simple: un campo de monopolo oscilante en una región aislada de las corrientes violaría la conservación de la carga. Tenga en cuenta que un campo monopolar no es lo mismo que una carga monopolar oscilante que, como explica la respuesta de Rob Jeffries , en realidad produce un campo dipolar.

Dejar$(r,\,\theta,\phi)$ser las coordenadas esféricas estándar, con la correspondiente base ortonormal$(\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}})$, cada uno apuntando a lo largo de la dirección de la coordenada respectiva creciente.

Entonces un campo eléctrico monopolar tendría la forma funcional:

$$\mathbf{E} = f(r,\,t)\,\boldsymbol{\hat{n}}(r,\,t)$$

donde la magnitud$f$y direccion$\boldsymbol{\hat{n}}$depender solo de$r$y tiempo$t$.

En primer lugar, el teorema de la bola peluda; ver por ejemplo :

Tyler Jarvis y James Tanton, "El teorema de la bola peluda a través del lema de Sperner", Amer. Matemáticas. Mensual , 111 , #7, pp599-603, 2004

prohíbe cualquier$\theta$- y$\phi$-campo vectorial independiente$\boldsymbol{\hat{n}}$con$\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}}$componentes Entonces sabemos que nuestro campo monopolar debe ser de la forma:

$$\mathbf{E} = f(r,\,t)\,\boldsymbol{\hat{r}}$$

Pero ahora calcule el flujo de$\mathbf{E}$a través de la esfera$r=r_0$. La respuesta, y su carga contenida implícita por la ley de Gauss, son:

$$\Phi_E = 4\,\pi\,r_0^2\, f(r,\,t) = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

que viola la conservación de la carga a menos que la carga no varíe con el tiempo o a menos que haya corrientes dirigidas radialmente en todos los valores de$r$(que no es lo que queremos decir cuando hablamos de un monopolo radiante). Entonces, el único campo monopolar posible en un medio dieléctrico es uno electrostático, el de una sola carga aislada o una distribución central de carga esféricamente simétrica.

Si quiere hablar solo del campo lejano, entonces el teorema de la bola peluda descarta los campos eléctricos y magnéticos monopolares tangenciales que son localmente como ondas planas. tiene que haber algo$\theta$y$\phi$dependencia.

Esta respuesta generaliza la Respuesta de Rob Jeffries , que comienza considerando los movimientos más simples de una carga aislada, es decir , la conservación de la carga se cumple en su respuesta por construcción.