¿Por qué el campo eléctrico alrededor de un conductor esférico hueco es homogéneo, incluso con una carga descentrada en su interior?

Tengo muchos registros en EM, y sé todo sobre la inducción de carga y el teorema de Gauss para sistemas de conductores, sin embargo, todavía tengo un problema que no puedo enfrentar sin sentirme incómodo.

Suponga que tiene una esfera conductora hueca, con una carga puntual q adentro, colocado en un punto que no está en el centro de la esfera. Eso induce una distribución de carga asimétrica (pero asimétrica) en la superficie interna de la esfera hueca; pero también, una distribución de carga perfectamente homogénea en la superficie externa. ¿Por qué es esto?

Esto es algo que puedo entender que podría suceder, pero extraño alguna prueba real de que debe suceder. Debe residir en algo relacionado con la simetría particular de la esfera, pero para mí no es suficiente decir que "esto sucede debido a la simetría esférica". ¿Hay algo que claramente obligue a que las cosas sucedan así?

Respuestas (4)

El metal del conductor 'protege' las cargas superficiales externas de las internas, porque no puede existir un campo electrostático macroscópico dentro del metal del conductor. Como tal, las cargas externas no tienen información sobre la presencia de cargas internas. Por lo tanto, las cargas deben existir en la forma de hacer que la superficie del conductor sea equipotencial (ya que esta es la configuración de energía más baja). Para una esfera, esto es simplemente uniforme debido a la homogeneidad del espacio. Puede que no sea uniforme para otra forma aleatoria, pero siempre DEBE ser equipotencial.

De hecho, es el punto al que me refería. El campo dentro del conductor, que debe ser cero, no es el campo de cada distribución, sino el total resultante de la suma. Si la carga externa se depositara allí después de alcanzar una condición de campo nulo, entonces estoy de acuerdo en que las cargas se distribuirían uniformemente. PERO estas distribuciones se liquidan todas al mismo tiempo; y hay una información precisa de la presencia de carga interior que se pasa a las exteriores: la cantidad total de carga. Esa es la prueba de que las cargas exteriores se ven afectadas por las cargas interiores.
no, la existencia misma de las cargas externas está definida por las internas. Más cambios en el interior, manteniendo la magnitud constante, no entregan información al exterior.

Como no debe haber campo dentro del metal de la esfera, las cargas en el lado interior se acomodan para cancelar exactamente el campo de la carga puntual q.

Las cargas en el exterior, por lo tanto, no sienten ningún campo excepto ellos mismos. Se disponen uniformemente alrededor de la esfera.

Al final, la razón por la que el campo es independiente de la posición exacta de la carga más interna es que está protegido por la jaula de metal.

El punto para mí es hasta cierto punto más sutil. La condición de que el campo dentro del conductor sea cero se puede obtener como usted dijo, ya que en particular el campo interior de una capa esférica es cero. Pero, en principio, a partir de las contribuciones de todas las cargas internas y externas sumadas, se podría esperar que también un arreglo diferente, con cargas externas colocadas de manera no uniforme, podría hacer el mismo trabajo. ¿Hay alguna forma de descartar esta última posibilidad?
No puede haber otra configuración que elimine el campo dentro del conductor y respete la conservación de la carga total. Puedes ver esto construyendo la solución al problema en tres pasos. En primer lugar, la capa interna del caparazón se carga para neutralizar el efecto de la carga puntual, sin generar ningún campo en el metal. Las cargas más alejadas de la capa interna no pueden tener parte en esto (puedes ver esto con la ley de Gauss). Finalmente, la misma carga que se ha desplazado hacia la capa interior (pero con signo contrario) aparece en el exterior. Todos estos pasos son únicos.
Gracias @polwel, solo para entender mejor, las cargas externas no pueden tener parte solo si están distribuidas uniformemente sobre la esfera, eso es exactamente lo que quiero encontrar. De lo contrario, la ley de Gauss solo me da información sobre un valor integral, mientras que localmente el campo cero podría ser otorgado también por cargos externos. ¿Dónde estoy equivocado?

Por lo que imagino, estás describiendo una capa de esfera de metal que encierra alguna carga. No importa si colocas la carga en el centro o no. La distribución de carga de la superficie externa siempre será uniforme. Si coloca la carga Q adentro, inducirá -Q en la superficie interna y la distribución de carga de la superficie interna no será uniforme según la ubicación de la carga libre. Ahora si evalúas ∮ mi → . d yo → = 0 en una curva que pasa a través de la 'carne' del caparazón y dentro de la esfera, debe obtener que el caparazón en sí no tiene campo dentro. Solo se ha perdido carga desde el caparazón hacia la superficie interna. Luego, la cantidad total de carga perdida se retira de la superficie externa y si la superficie externa tuviera una distribución de carga no uniforme, significa que habría una corriente tangencial que fluye desde el parche que tiene una carga más alta que su entorno hasta el entorno y el los parches están en equipotencialidad y, por lo tanto, no puede calcular dónde se encuentra la carga en el interior.

Este es realmente un argumento de simetría, pero creo que responde a su pregunta.

La capa conductora esférica es equipotencial.
Una carga fuera de esa capa solo puede sentir el efecto de las cargas en la superficie exterior de la capa, ya que no hay campo eléctrico dentro de la capa conductora.

Si una carga, que comienza en el infinito, se mueve hacia la superficie del cascarón, el trabajo realizado debe ser independiente del camino seguido.

Si la densidad de carga superficial no fuera uniforme en toda la esfera, el trabajo realizado para mover la carga a la esfera no sería independiente de la trayectoria. Se haría más trabajo moviendo la carga hacia una región donde la densidad de carga superficial fuera mayor.

Destacaría el punto de que un conductor es siempre equipotencial, sin importar cuál sea la densidad de carga; por ejemplo, si tiene una carga puntual cerca de un plano conductor, el propio plano es equipotencial incluso si la densidad de carga no es uniforme. Lo mismo sucede con una esfera. Lo que pido es un argumento muy general, válido per se y no después de complicados cálculos. ¿Quizás que la configuración con una densidad de carga uniforme es un mínimo de la energía electrostática entre todas las configuraciones de carga posibles?
Una esfera no tiene puntos y, por lo tanto, una acumulación de carga en una región significaría que el trabajo realizado para llevar una carga positiva a la esfera no sería independiente del camino seguido.
¿Por qué el campo eléctrico alrededor de un conductor esférico hueco es homogéneo, incluso con una carga descentrada en su interior?
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