Transformación de Fourier, campo eléctrico y campo magnético para tener una red de blindaje contra partículas

Con la expansión de la serie de Fourier, podemos escribir una función como la suma de muchas funciones de seno y coseno de diferente amplitud y diferente frecuencia que no se repiten.

Supongamos que conocemos la función de representación del campo eléctrico y del campo magnético de los átomos de hidrógeno o los átomos de hierro como una red periódica (si no podemos saberlo, tomemos el periódico-Dirac-Delta) .

Pregunta: ¿cuántos generadores de ondas seno+coseno necesitamos para producir tal imitación para al menos el plano xy con un error mínimo (digamos %0.1 sobre la incertidumbre de la órbita electrónica)? (por supuesto, las ondas electromagnéticas son sinusoidales transversales) Generadores de ángulo muy estrecho dirigidos a los mismos puntos para que formen un punto de ondas superpuestas que actúen como una red de hierro o cualquier campo electromagnético que se necesite (incluso un escudo contra objetos grandes, con suficiente fuente de energía y generadores fuertes, como en el reino de Star-Trek?).

ingrese la descripción de la imagen aquí

como núcleos de iones en la red como una barrera para las nanopartículas.

Gracias.

Cualquier función que no se repita Fourier se transforma en una función continua, no en una suma discreta, por lo que no creo que su pregunta tenga una respuesta útil.
@John Rennie: Sí, no repetitivo, sí continuo (Dirac-Delta periódico)
Echa un vistazo a falstad.com/fourier . Si selecciona el triángulo y rectifica, obtiene algo como el ejemplo que da.
¿Quiere decir que quiere usar algo así como muchos, muchos, muchos láseres para generar sus senos? En caso afirmativo, sería bastante difícil porque debe asegurarse de que sus ondas EM se superpongan con ángulos muy pequeños entre ellas. Además, tendría que convertirlos en ondas puramente estacionarias, de lo contrario no tendrá una función estacionaria.
¿Tal vez sea posible enfocar a través de una red realmente delgada?

Respuestas (1)

Bien, tomemos un perfil gaussiano y lo repetiremos cada 2 π para convertirlo en una función para la cual podamos calcular los coeficientes de Fourier. La función resultante se ve así:

Función

He escrito una hoja de cálculo para calcular los componentes de Fourier para esta función y uso los componentes para volver a calcular la función (puedo poner la hoja de cálculo en algún lugar descargable si lo desea).

Si tomo los primeros 10 componentes, el ajuste es casi perfecto (con más de 10 componentes no se puede ver la diferencia entre el ajuste y la función original):

10 componentes

Con los primeros 6 componentes puedes ver claramente la diferencia:

6 componentes

y con solo 3 componentes, la aproximación es bastante pobre, como era de esperar, aunque ya puede ver el desarrollo del pico central:

3 componentes

Todavía no estoy completamente seguro de lo que está preguntando, pero esto debería darle una idea de cuántos términos necesita para obtener una aproximación razonable a su función objetivo.

Entonces, ¿diez matrices de generadores de ondas diferentes (o matrices) son suficientes para menos de %1 error?
Entonces solo 20-30 generadores serían mejores que %0.1 de error.
Con 10 términos el máximo es 1,8% (en el pico). Para obtener menos del 0,1% de diferencia se requieren solo 15 términos.
Tenga en cuenta que una función gaussiana es bastante fácil de ajustar. Si elige una función diferente, esto afectará la cantidad de términos requeridos. Si elige una función con discontinuidades, o discontinuidades en el gradiente, se necesitará una gran cantidad de términos para que el error sea pequeño en la discontinuidad.
¿Puedes hacer lo mismo para un dirac-delta?
Sí, pero la convergencia para una función delta es muy pobre porque los coeficientes en la expansión de Fourier son constantes, es decir, no disminuyen a medida que aumenta la frecuencia de la onda sinusoidal. Lo que puedo hacer es reducir el ancho de la gaussiana para que sea muy estrecho. Sin embargo, si empiezo a publicar más y más gráficos aquí, vamos a molestar a la gente. Sugiero que ordene la hoja de cálculo que escribí para hacer el cálculo y puedes llevarte una copia para jugar.
De todos modos, el gaussiano estrecho está bien por ahora. Gracias. +100
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