¿Por qué la señal observada es la convolución de la señal verdadera con la función instrumental?

Hay varias formas de entender este resultado. Una es pensar cómo$I(x,y)$se define. Es la señal que te da tu instrumento en el punto$y$cuando su fuente es una función delta (es decir, una fuente puntual) en el punto x. En jerga matemática,$O_\delta(y) = \int \delta(x) I(x,y) \mathrm{d}x$.

Si su fuente se compone de muchos puntos diferentes, debe sumar todos ellos, por lo que tiene$O(y) = \int T(x) I(x,y) \mathrm{d}x$. Darse cuenta de$I$es la función de Green para su sistema (es posible que la haya estudiado en algún momento). Ahora bien, en muchos casos$I$depende de$x$y$y$solo a través de la diferencia, por lo que obtienes la convolución. Este último paso depende de su instrumento, pero estoy bastante seguro de que es el caso de los telescopios con buenas lentes/espejos en la aproximación paraxial.

Otra forma de entender este resultado es pensar en la transformada de Fourier. En aras de la simplicidad, no seré absolutamente riguroso aquí.

La luz en la estrella tiene un perfil de amplitud dado por$T(x)$, y cuando alcanza el objetivo de su telescopio se ha difractado, por lo que tiene su transformada de Fourier ($\mathcal{F}[T]$). El objetivo actúa como un filtro que deja pasar parte de esta luz y tiene un perfil de transmisión$\mathcal{F}[I]$, por lo que la luz justo después del objetivo es el producto de ambas funciones:$\mathcal{F}[T]\,\mathcal{F}[I]$.

Finalmente, la imagen formada en el plano focal del objetivo es la transformada inversa de ese producto:$O(y)=\mathcal{F}^{-1}\{\mathcal{F}[T]\,\mathcal{F}[I]\}$Usando el teorema de convolución,$O(y)=T\otimes I$

Para el dispositivo ideal, la señal observada es idéntica a la señal verdadera.
Entonces, si la señal verdadera es un solo punto

$$T_\text{point}(x) = T_0 \; \delta(x-x_0)$$ entonces la señal observada también es un solo punto $$O_\text{ideal}(y)\bigl[T_\text{point}(x)\bigr] = \alpha T_0 \; \delta(y-x_0),$$ dónde $\alpha$es la sensibilidad.

El dispositivo no ideal desdibuja el punto y obtenemos alguna función:

$$O(y)\bigl[T_\text{point}(x)\bigr] = T_0 I(y - x_0). \qquad (1)$$ Esta función es la función del instrumento.

La señal real no es un solo punto. Es una función, pero esta función se puede representar como una suma de señales puntuales:

$$T(x) = \int T(x_0)\delta(x-x_0) \; dx_0 \qquad (2)$$

Podemos aplicar (1) a (2):

$$O(y)\bigl[T(x)\bigr] = \int O(y)\bigl[T(x_0)\delta(x-x_0)\bigr] \; dx_0 = \int T(x_0)I(y - x_0) \; dx_0$$

Entonces

$$O(y)\bigl[T(x)\bigr] = \int T(x)I(y - x) \; dx$$