¿Por qué dura tanto un vórtice?

Cuanto menor sea la viscosidad del fluido, más durará el vórtice.

La viscosidad es una medida de los efectos de fricción dentro de un fluido. Al igual que con otras formas de fricción, la viscosidad transfiere energía del movimiento macroscópico al complicado movimiento molecular microscópico (energía térmica). Intuitivamente, esta transferencia gradual de energía desde el movimiento macroscópico visible hacia la energía térmica invisible debería eventualmente causar que un vórtice se disipe.

(Por cierto, un superfluido ideal tiene una viscosidad cero. En un superfluido ideal, un vórtice puede durar para siempre).

El resto de esta respuesta es un intento de deducir una estimación cuantitativa de cuánto tiempo puede durar un vórtice, utilizando un modelo simple que trata el agua como un fluido incompresible. Descargo de responsabilidad: ¡ No soy un experto en mecánica de fluidos! Para escribir esta respuesta, tuve que revisar algunos de los conceptos básicos. Para la teoría general, utilicé estas fuentes:

• Capítulo 14 ("Vorticidad") en la versión 2012-2013 de Blandford y Thorne, Applications of Classical Physics , http://www.pmaweb.caltech.edu/Courses/ph136/yr2012

• "Prueba del teorema de Kelvin", http://web.mit.edu/fluids-modules/www/potential_flows/LecturesHTML/lec07/kelvintheoproof/kelvintheoproof.html

Para obtener información numérica sobre la viscosidad del agua, utilicé estas fuentes:

• Página 6 en https://resources.saylor.org/wwwresources/archived/site/wp-content/uploads/2011/04/Viscosity.pdf

• https://www.engineeringtoolbox.com/water-dynamic-kinematic-viscosity-d_596.html

La ecuación clave

Dejar$\mathbf{u}$denote la velocidad del fluido. Esto varía con la ubicación.$\mathbf{x}$en el fluido, y puede cambiar con el tiempo$t$. Dejar$C$Sea cualquier lazo cerrado en el fluido, y considere la integral de$\mathbf{u}$alrededor del bucle:

$$\Gamma = \int_C d\mathbf{x}\cdot \mathbf{u}. \tag{1}$$ La cantidad$\Gamma$se llama circulación alrededor$C$. Es distinto de cero solo si hay una circulación neta (en el sentido coloquial) de fluido alrededor del circuito. En particular, es distinto de cero si tomamos$C$ser un pequeño círculo centrado en un vórtice. El objetivo es entender por qué$\Gamma$podría permanecer esencialmente constante durante mucho tiempo, y lo que finalmente hace que se reduzca a cero.

Para responder a esto, necesitamos una ecuación que describa la dependencia del tiempo del campo de velocidad$\mathbf{u}$. Suponiendo que el fluido es incompresible (lo cual es una buena aproximación para esta pregunta), podemos usar la ecuación de Navier-Stokes

$$\frac{d \mathbf{u}}{d t} = \nu\nabla^2 \mathbf{u} -\nabla h \tag{2}$$ dónde $$\frac{d \mathbf{u}}{d t} := \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} +(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \tag{3}$$ es la derivada convectiva de$\mathbf{u}$, que dice qué tan rápido la velocidad$\mathbf{u}$cambia en el tiempo en un punto que se mueve con el fluido. el coeficiente$\nu$es la viscosidad cinemática del fluido, y la$\nabla h$el término da cuenta de la gravedad. Para relacionar (2) con (1), tome la integral de (2) alrededor del contorno$C$. la integral de la$\nabla h$término alrededor de un contorno cerrado es cero porque el integrando es un gradiente, por lo que nos queda $$\frac{d }{d t}\Gamma = \nu\int_C d\mathbf{x}\cdot (\nabla^2 \mathbf{u}). \tag{4}$$ Este es un caso especial del teorema de Kelvin . La ecuación (4) es lo que queremos: nos dice cómo la circulación$\Gamma$cambia con el tiempo, entendiendo que el contorno$C$se mueve con el fluido. Esta última salvedad es importante, porque dice que si tomamos$C$ser un bucle alrededor del centro del vórtice, entonces$C$permanece centrado en el vórtice a medida que el vórtice es arrastrado por cualquier corriente general que pueda estar presente.

Viscosidad y estabilidad

La intuición mencionada en la parte superior de esta respuesta es consistente con la ecuación (4), que dice que si la viscosidad$\nu$eran cero, entonces$\Gamma$permanecería constante en el tiempo (en la medida en que las demás aproximaciones implícitas en la ecuación (2) sean válidas). En otras palabras, si la viscosidad fuera cero, un vórtice podría durar para siempre.

Determinación del signo relativo

El término de viscosidad en (4) debe hacer que la fuerza del vórtice disminuya con el tiempo, por lo que el signo del término de viscosidad debe ser el opuesto al signo de$\Gamma$. Verifiquemos esto usando un modelo simple del campo de velocidad alrededor de un vórtice. Fuera del núcleo del vórtice, suponga que el campo de velocidad tiene la forma

$$u_j = \frac{\sum_k\Omega_{jk} x_k}{\mathbf{x}^2} \tag{5}$$ para alguna matriz antisimétrica$\Omega_{jk}$, dónde$u_j$es el$j$el componente de$\mathbf{u}$. El modelo (5) asegura que la velocidad sea tangente al radio desde el centro (como es apropiado para un vórtice ), y también asegura que la velocidad aumenta hacia el centro. La ecuación (5) implica $$\nabla^2 u_j = -2D\frac{u_j}{\mathbf{x}^2} \tag{6}$$ dónde$D=3$es el número de dimensiones del espacio. (Generalmente$D=3$, pero a veces fingiendo$D=2$es útil para desarrollar la intuición). El signo menos en la ecuación (6) confirma que los signos relativos en la ecuación (4) son correctos: la fuerza del vórtice disminuirá con el tiempo, como se esperaba.

Estimación numérica aproximada

Ahora que tenemos la ecuación clave (4), introduzcamos algunos números. En condiciones ordinarias, la viscosidad cinemática del agua es aproximadamente

$$\nu \approx 10^{-6} \ \frac{\text{m}^2}{\text{s}}. \tag{7}$$ Obtener números para las otras cantidades en la ecuación (4) implicará algunas conjeturas, porque no tenemos ninguna medida del vórtice que se observó. toma el bucle$C$ser un círculo alrededor del vórtice con un radio de$10$centímetros, y suponga que en ese radio, el agua está circulando a razón de$5$ciclos por segundo. (Solo estoy suponiendo). Como solo estamos estimando, podemos decirlo así:$\Delta r\sim 10$cm es la escala espacial típica del vórtice, y$\Delta t\sim 1/5$la segunda es la escala de tiempo típica.

La cantidad$\Gamma$es la circunferencia$|C|$del círculo por la velocidad del agua en ese radio (me refiero a la componente de la velocidad tangente al círculo), por lo que podemos pensar en$d\Gamma/dt$como$|C|$veces la velocidad a la que cambia la velocidad del agua. Como solo estamos estimando, podemos usar el modelo (5) para obtener

$$\int_C d\mathbf{x}\cdot (\nabla^2 \mathbf{u}) \sim -\frac{12\pi}{\Delta t}. \tag{8}$$ El uso de estos números en la ecuación (4) da la estimación $$|C|\frac{d }{d t}|\mathbf{u}| \sim -60\pi \times 10^{-6} \ \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}. \tag{9}$$ Divide ambos lados por$|C|\sim 2\pi \Delta r\sim 0.5$metro para obtener $$\frac{d }{d t}|\mathbf{u}| \sim -120\pi\times 10^{-6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \sim -2\ \frac{\text{cm/s}}{\text{minute}}. \tag{10}$$ Esta estimación dice que la circulación disminuye lentamente, perdiendo solo un par de centímetros por segundo de velocidad cada minuto.

(Podríamos mejorar esta estimación volviendo a las ecuaciones originales para ver que la curva$C$, que se transporta junto con el líquido, puede crecer con el tiempo. En otras palabras, el vórtice puede expandirse, lo que percibimos visualmente como el vórtice debilitándose y desapareciendo en el ruido de las ondas ambientales).

Esta es solo una estimación aproximada, y no soy un experto en mecánica de fluidos, pero parece confirmar que un vórtice bien formado puede durar un tiempo sorprendentemente largo en aguas abiertas.