¡Hacer flotar una pelota de ping pong en el aire con solo usar un bolígrafo!

Aquí está mi intento cuantitativo de$4.$y$1.$:

El efecto Coanda aquí es la tendencia del flujo de aire a adherirse a la superficie de la pelota. Esto significa que cerca de la superficie de la pelota, las líneas de corriente se curvan con un radio de curvatura aproximadamente igual al radio de la pelota.$R$; esta curvatura da como resultado un gradiente de presión tal como lo hace en la teoría de sustentación que asumo que es constante sobre la superficie:

$\vec{\nabla} P = - \frac{\rho v^2}{R} \vec{e}_r$

(Como anécdota, la "circulación" que usan los aerodinámicos para calcular la sustentación por unidad de ancho está relacionada con una cierta integral de esta cantidad sobre un área de sección transversal apropiada).

Este apunta radialmente hacia adentro hacia algún punto de equilibrio, en el cual las fuerzas netas que actúan sobre la pelota se cancelan. En la práctica, la pelota colgará ligeramente por debajo de este punto debido a la gravedad. Editar: ver más abajo .

Cuando la bola se desplaza desde esta posición normalmente hacia el flujo por cierta distancia$z$, podemos calcular la fuerza restauradora total que actúa sobre la pelota integrando$\vec{\nabla} P$sobre el volumen de la pelota bajo dos supuestos:

$1.$la curvatura y la posición de equilibrio del flujo de aire se alteran de manera insignificante al mover la bola de esta manera, y por lo tanto, independientemente de$z$

$2.$el volumen neto de la bola desplazada que es relevante para la integración (es decir, que contribuye a una fuerza *des*equilibrada) es aproximadamente igual a$\pi R^2 z$, el área de la sección transversal de la bola multiplicada por el desplazamiento$z$

con estas suposiciones, la fuerza restauradora es

$\vec{F} = - \frac{\rho v^2}{R} \pi R^2 \vec{z} = -\pi \rho v^2 R \vec{z}$

que podemos reconocer inmediatamente como un oscilador armónico

$\vec{F} = -k \vec{z} = -m \omega^2 \vec{z}$

dónde$m$es la masa de la pelota, y obtenga la frecuencia natural

$\omega = v \sqrt{\frac{\pi\rho R}{m}}$.

o para una frecuencia de oscilación más fácil de medir$\nu$en términos de$Q$, estimando$v = Q/A$,

$\nu = \frac{Q}{A} \sqrt{\frac{\rho R}{4 \pi m}}$

usando el área de la sección transversal de la pelota para$A = \pi R^2$, porque$v$es la velocidad a la que el aire viaja sobre la superficie de la pelota, y no la velocidad a la que sale del bolígrafo.

Esta suposición es un poco cuestionable ya que nada de aire pasa realmente por esta área, pero esta es la única área finita relevante para el problema. En el peor de los casos, el área real de la que esto depende, probablemente el área "promedio" por la que pasa el flujo en el plano que pasa por el ecuador de la pelota, será$A$veces alguna constante numérica.

Es importante tener en cuenta que esto se escala linealmente con$Q$, por lo que soplar el doble de fuerte resultará en oscilaciones que son el doble de rápidas .

Los estándares internacionales son$R$= 20 mm y$m$= 2,7 g, por lo que supongo que la siguiente fórmula:

$\nu = 0.767$metro$^{-1} \frac{Q}{A}$

Usando BebopButUnsteady's razonable$Q$de$6$L/s, y lo anterior$R$,

$\nu = 3.66$Hz

Lo cual suena bastante razonable para mí. Pero de nuevo, la dependencia lineal de$Q$es importante, y para flujos más débiles será proporcionalmente más lento.

Y como nota final, mi primera suposición de que el gradiente de presión era constante sobre la superficie significa que esta fórmula no distingue entre oscilaciones paralelas a la corriente y oscilaciones normales a ella.

En la práctica, se sabe que el gradiente de presión hacia el interior será menor en los puntos de la pelota que están "en línea con" la corriente que en los que se encuentran más afuera, ya que las líneas de corriente se curvan en la dirección opuesta, por lo que las oscilaciones paralelas a la corriente tienen una frecuencia más baja que las normales/"laterales" en general .

PD: Las fórmulas finales aquí probablemente solo se mantendrán hasta algún "factor de fudge" experimental, que puede interpretarse como la constante numérica que aparece en esa aproximación de$v \approx Q/A$: si$v = f Q/A$, después$f$es el factor fudge. Pero esto es mecánica de fluidos, y los factores de engaño son inevitables.

Editar: estimación por parte$1.$

Si suponemos que el desplazamiento de la pelota debido a la gravedad es menor que un radio, entonces podemos decir que

dadas las definiciones anteriores de$R$y$Q$, o

$Q > R \sqrt{\frac{\pi mg}{\rho}} \approx 5.77$ml/s

y

$v > \frac{1}{R} \sqrt{\frac{mg}{\pi \rho}} \approx 4.59$milisegundo

que es mucho menos que$6$L/s, pero aún puede estar en línea con lo que esos juguetes que a veces vienen en galletas navideñas. La velocidad parece algo más intuitivamente razonable. Si estos son demasiado bajos para sostenerlos experimentalmente, la razón de esto puede ser que el flujo es demasiado inestable cuando se mantiene con la respiración humana.

En algunos videos, la amplitud de las oscilaciones cuando se suspende en el flujo de un secador de cabello aparentemente puede ser apreciablemente mayor que un radio, por lo que la suposición sobre$z<R$puede estar fuera por algún factor de hasta 5; sin embargo, suponiendo que esto haría que los resultados finales para el mínimo teórico$v$o$Q$menor por un factor de$\approx 0.44$, por lo que sigue siendo una conjetura informada para un límite superior.

Dado que las suposiciones involucradas en la derivación de esta fuerza solo se aplican estrictamente a los desplazamientos normales a la corriente, este es el flujo mínimo para suspender la pelota horizontalmente; responder a la pregunta sobre el ángulo de suspensión máximo (puede que no haya uno) requeriría una descripción más detallada de la distribución de presión alrededor de la bola, que bien puede estar disponible en la literatura para el flujo laminar alrededor de una esfera.

Permítanme dar la estimación más ingenua posible, para que la gente tenga algo que criticar. Suponiendo que la mayor parte del chorro interactúa con la bola y se desvía en un ángulo sustancial, entonces la fuerza sobre la bola es aproximadamente el flujo de impulso a través de la pluma. En sus unidades esto es$\rho_{air} Q^2/(\pi d^2)$. Decir que la fuerza para levitar una pelota es$1\times 10^{-2} N$, la sección transversal de su bolígrafo es del orden de 10$mm^2$al cuadrado, obtenemos$Q$de orden$1 L/s$.

Siguiendo algunos artículos bastante intrincados de Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Spirometry y http://en.wikipedia.org/wiki/Lung_capacity , parece que 1L es una respiración normal, y podemos hacer alrededor de 6 L/s en un pico o 1L durante 6 segundos si lo intentamos. Esto parece cuadrar con la experiencia común.

Soy un estudiante de física de primer año, por lo que mi respuesta podría no ser satisfactoria, pero espero que le dé una idea del problema.

1) por lo que sé, debemos considerar:

1. Arrastrar - que abordaré
2. Turbulencia, de la que no sé casi nada y, por lo tanto, ignoraré con la esperanza de que alguien pueda expandirse.

necesitamos que la fuerza de arrastre sea igual o mayor que el peso de la pelota.

usando la fórmula$F_d= \frac{1}{2} \rho v^2 C_d A$(se puede encontrar en wikipedia)

obtenemos$mg = \frac{1}{2}\rho v^2 C_d \pi r^2$

$\rho$se da aquí , y$C_d$se da aquí (aunque depende de la velocidad y debe medirse).

la velocidad es:$v=\frac{Q}{\pi \frac{d^2}{4} }=\frac{4Q}{\pi d^2}$

entonces obtenemos$Q= \frac{d^2}{r}\sqrt{\frac{mg\pi}{8\rho C_d}}$

porque no todo el aire contribuirá a levantar la pelota, y porque el flujo de aire no es constante, este Q no es el mínimo, pero debería estar cerca de eso. Intentaré experimentar con esto, en un mes.

2) Eso tomará algunas medidas: ¿cuánto aire soplas en 3 segundos? cuál es su velocidad (se puede probar con un globo, como la forma en que se mide la capacidad pulmonar)

4) No estoy seguro, pero creo que el desplazamiento horizontal dará como resultado una "oscilación" sobreamortiguada, debido al efecto de Bernoulli.

Déjame tratar de responder a la primera pregunta.

Suponga que en una nave espacial, el agua fluye a lo largo de un canal circular, la distancia desde el fondo del canal hasta el eje del canal circular es$r$, el ancho del canal es$b$, la profundidad del canal es$h$(la profundidad del agua también es$h$), la densidad del agua es$ρ$, la velocidad angular del agua es$ω$, sin viscosidad, sin fricción, sin tensión de agua, y la presión del aire de la nave espacial es$p$(minúscula).

¿Cuál es la presión del agua en el fondo del canal? ¿Como calcular?

Gracias a Chet Miller por las siguientes respuestas:

La presión en el fondo del canal disminuye con el aumento de$ω$. Inferior a la presión atmosférica (Tenga en cuenta que la presión del aire en la nave espacial es una atmósfera).

Suponiendo que el agua fluya solo a través de la mitad superior del canal, habrá una fuerza ascendente que actuará sobre el cilindro debido a la presión atmosférica debajo del cilindro.

Para simplificar, suponga que la pelota de tenis de mesa es un cilindro A, el radio de A es$r$, el peso de A es$w$, la sección transversal del cuerpo del bolígrafo es rectangular, el ancho del rectángulo es$b$, y la altura es$h$. Suponga que el gas fluye a través del semicírculo superior de A con sección transversal rectangular. Entonces la fuerza hacia arriba$F$se puede calcular por integral de fórmula.

Cuando$F = w$, podemos calcular$ω$.

Velocidad$v$se puede calcular a partir de$ω$y$r$

Finalmente, se puede calcular que:

La fuerza de elevación del tenis de mesa no se debe al teorema de Bernoulli, sino a la fuerza centrífuga del movimiento de la curva del fluido.

La fuerza centrífuga del fluido hace que la superficie de tenis de mesa produzca baja presión, y la baja presión de la esfera hace que la pelota de tenis de mesa quede suspendida en el aire.