¿Por qué asumimos que las transformaciones conformes locales son simetrías en 2D CFT?

El grupo conforme global en 2D es S L ( 2 , C ) . Consiste en las transformadas lineales fraccionarias que mapean la esfera de Riemann en sí misma biyectivamente y es de dimensión finita.

Sin embargo, al estudiar C F T 2 la gente siempre usa el álgebra completa de Virasoro, no solo el L 0 , ± 1 que en realidad se exponen a transformaciones invertibles. Me gustaria saber porque la gente considera al otro L norte 's ser simetrías de la teoría.

Soy consciente de que las identidades de Ward son declaraciones locales y que puedo considerar un parche de coordenadas donde las transformaciones conformes adicionales son biyectivas para derivar relaciones entre las funciones de correlación en este parche. También estoy familiarizado con las representaciones del álgebra de Virasoro y lo restrictiva que es la simetría.

Sin embargo, estamos haciendo mecánica cuántica, y una simetría de la teoría debería llevarme de un estado físico a otro. Además, la simetría debe tener una inversa que deshaga esta transformación. Esto significa que el espacio físico de Hilbert debería organizarse en representaciones de las simetrías de la teoría. Sin embargo, las transformaciones conformes locales no pueden tener inversas, por lo que no forman un grupo, que yo sepa. Entonces, ¿por qué se supone que los estados de un C F T 2 deben organizarse en representaciones del álgebra de Virasoro? (Soy consciente L norte ≤ − 2 | 0 ⟩ ≠ 0 , ⟨ 0 | L norte ≥ 2 ≠ 0 así que todo menos el L 0 , ± 1 se "rompen espontáneamente" en el vacío de entrada/salida, pero esto no es relevante ya que todavía se supone que los estados de la teoría se ensamblan en módulos Verma ya que se supone que el Virasoro era una simetría de la teoría que simplemente es violada por el Aspirar).

Mi pregunta básicamente se reduce a: ¿Cómo puedo tener simetrías de una teoría que no son invertibles? Agradecería cualquier comentario que aclare mi confusión.

Respuestas (1)

El álgebra de Virasoro es un álgebra extendida centralmente. Esto significa que en toda representación, su elemento central debe estar representado por el operador unidad. Por lo tanto (para una carga central que no desaparece), no se puede implementar completamente a nivel cuántico como una simetría del vacío, de lo contrario, se puede obtener una contradicción del tipo 1 | 0 ⟩ = 0 | 0 ⟩ .

el algebra s tu ( 1 , 1 ) generado por L 0 , ± 1 es la subálgebra más grande que no contiene el elemento central, por lo tanto, la subálgebra más grande que se puede implementar como una simetría del vacío.

La forma correcta es ver el grupo (centralmente extendido) GRAMO = D i F F ( S 1 ) ~ como el grupo dinámico de la teoría (consulte la página 100 del libro de Souriau ). (Aunque este libro trata solo de grupos de dimensión finita). Esto significa que este grupo se puede implementar de forma clásica mediante una transformación canónica. El hamiltoniano será un elemento de álgebra envolvente universal del grupo. Ambas condiciones son válidas en nuestro caso.

La importancia de esta construcción es que, tras la cuantificación, la acción del grupo dinámico puede elevarse (de manera optimista) a una representación unitaria en el espacio cuántico de Hilbert. Esta representación se induce a partir de una representación del grupo pequeño (subgrupo que conserva el vacío, por ejemplo, un subgrupo H correspondiente al álgebra de Lie s tu ( 1 , 1 ) ).

En la terminología moderna, esta construcción se denomina cuantización de la órbita coadjunta. GRAMO / H . La representación del pequeño grupo en realidad fija una estructura simpléctica en la órbita coadjunta. Consulte el artículo de: Gay-Balmaz sobre las órbitas conjuntas del grupo Virasoro y sus referencias (el artículo está disponible en línea en la página siguiente ).

(Debe mencionarse que la teoría de las órbitas coadjuntas en el caso de dimensión finita es mucho más sencilla; consulte, por ejemplo, la siguiente revisión de Kirillov).

Esta no es toda la historia en nuestro caso debido a la infinita dimensionalidad del grupo y las representaciones. Como se menciona en la pregunta, los generadores rotos en este caso no pueden implementarse unitariamente porque conducen el vacío fuera del espacio cuántico de Hilbert.

Esta situación fue considerada por Bowick y Rajeev y también por Kirillov y Yuriev, consulte la siguiente reseña de Sergeev. Construyeron el espacio de Hilbetrt y luego actuaron sobre él mediante un elemento arbitrario de D i F F ( S 1 ) cambiando el estado de vacío. El vacío genera un paquete de líneas sobre D i F F ( S 1 ) con una conexión hermítica. Descubrieron que la condición de que esta conexión se vuelva plana es exactamente la misma en la que la teoría cuántica se vuelve D i F F ( S 1 ) invariante a nivel cuántico (por ejemplo, en el caso plano de la cuerda bosónica esto sucede cuando d = 26 ). La cuantización que realizaron es una cuantización de Kähler. Descubrieron que la contribución del haz canónico de la órbita coadjunta a la anomalía es igual a la contribución de los fantasmas (esto es comprensible porque el término fantasma se origina a partir de la medida de volumen de la integral de trayectoria). La condición de planitud de la conexión del paquete de vacío se puede interpretar como una equivalencia unitaria de los espacios de Hilbert de cuantificación. En este caso el álgebra de Virasoro se puede exponenciar ya que no tiene carga central neta.

Este tipo de cuantización fue utilizado por Hitchin y más tarde por Axelrod, della Pietra y Witten en la cuantización de la teoría de Chern Simons.

Por lo tanto, la solución de la implementabilidad del grupo Virasoro completo a nivel cuántico es tomar el vacío como un producto tensorial del vacío de Fock de materia y los sectores fantasmas de manera que su carga central completa se desvanece.

¿Entiendo la lógica de tu primer párrafo, verdad? Supongamos que queremos todo L norte ser simetrías. Esto significa para todos norte el vacío es invariante: ρ ( L norte ) | 0 >= 0 para todos norte . Por otra parte la representación de un centro es siempre proporcional a la unidad ρ ( Z ) = C × 1 . Ahora [ ρ ( L norte ) , ρ ( L − norte ) ] | 0 >= 0 | 0 >= 2 norte ρ ( L 0 ) | 0 > + C × 1 | 0 >= C × 1 | 0 > entonces tenemos 0 = C × 1 | 0 > aunque asumimos C ≠ 0 . Entonces, el álgebra completa de Virasoro no se puede implementar a nivel cuántico como una simetría del vacío.
@ungerade tienes razón
También estoy un poco desconcertado por: "los generadores rotos en este caso no pueden implementarse unitariamente porque conducen el vacío fuera del espacio cuántico de Hilbert". A mi entender (probablemente equivocado) pensé que ρ ( L norte ) | 0 > es cualquiera 0 (por norte > − 2 ) o un nuevo estado en el espacio de Hilbert. ¿Cómo juega esto en la discusión? (Por supuesto, si esta pregunta es demasiado larga para responder, me complace hacer una pregunta de intercambio de pila por separado)
@ungerade, en la teoría de cuerdas, el álgebra de Virasoro debe ser una verdadera simetría del hamiltoniano y el vacío. Esta es la única forma en que uno puede medirlo y obtener una teoría invariante de reparametrización a nivel cuántico. Por lo tanto, la teoría de cuerdas puede estar compuesta por varios sectores (materia y fantasmas), cada uno de los cuales tiene una carga central que no desaparece, pero la carga central total debe ser cero. La forma de lograr esto es tomar el vacío de la teoría de cuerdas como el producto tensorial de los diversos vacíos constituyentes. Cada sector por sí mismo no necesita ser reparametrización invariante....
en la teoría cuántica de campos (en contraste con la mecánica cuántica), los generadores que se rompen espontáneamente conducen el vacío fuera del espacio de Hilbert de la teoría, ya que podemos probar que los vectores de energía mínima del tipo mi i α GRAMO | v a C ⟩ dónde GRAMO es un generador que se rompe espontáneamente son ortogonales al vacío para todos α ≠ 0 al vacío, por lo que no puede ser representado por un operador unitario (la acción infinitesimal GRAMO | v a C ⟩ , sin embargo, existe ya que es el modo Nambu-Goldstone.)
Esto significa que el grupo de simetría en contraste con el álgebra de simetría no será unitariamente representable en el espacio de Hilbert, y este no es el caso que necesitamos, ya que como se mencionó anteriormente, necesitamos medir esta simetría.
¿Por qué asumimos que las transformaciones conformes locales son simetrías en 2D CFT?
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