¿Por qué asumimos que el potencial es independiente del tiempo en la ecuación de Schrödinger?

En casi todos los textos que leo (en línea o en papel), cuando manejan la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, veo algo como "siempre asumimos que el potencial es independiente del tiempo". ¿Por qué es esto? ¿No hay muchas circunstancias en las que esto no es válido? ¿No se realizan la mayoría de los experimentos con potenciales variables (RMN, por ejemplo, el campo magnético, que afecta el potencial, cambia con el tiempo)? ¿Se hace esta suposición en los libros de texto solo por razones pedagógicas, para hacer la vida más fácil?

Si no hacemos esta suposición, entonces me parece que la ecuación de Schrödinger ya no es separable y ya no podemos simplemente aplicar el operador de evolución temporal como se hace normalmente (y la ecuación independiente del tiempo ya no es válida) .

Tal vez tangencial a la pregunta principal, pero: Además, si queremos resolverlo numéricamente, me parece que tampoco podemos simplificar usando transformadas de Fourier de pasos divididos o en una forma manejada por Runge-Kutta. ¿Es esto correcto? Estoy especialmente interesado en explorar el análisis numérico, pero creo que debería publicar esa pregunta en el SE de computación científica.

Por supuesto, cuando digo "potencial" quiero decir V ( r → , t ) en la ecuacion

i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r → , t ) = [ − ℏ 2 2 metro ∇ 2 + V ( r → , t ) ] Ψ ( r → , t )
y el supuesto cuya justificación no entiendo es V ( r → , t ) = V ( r → ) .

Por curiosidad, ¿qué significa "tangencial a otra pregunta"? ¿Es solo una forma elegante de decir que está relacionado, o significa que la relación entre las dos preguntas es específica y, de ser así, cómo?
Solo quiero decir que la pregunta sobre el análisis numérico está relacionada superficialmente con mi pregunta principal. Quería preguntarlo, pero no estoy seguro de que este sea el lugar correcto; sin embargo, espero que este sea el lugar correcto para el resto de las preguntas.
Relacionado (tal vez incluso duplicado): physics.stackexchange.com/q/17768

Respuestas (1)

Hay muchas situaciones en las que el potencial depende del tiempo. La razón principal por la que no los ha visto es probablemente porque no ha estado buscando en los lugares correctos.

Sin embargo, dicho esto, existe una clara separación entre los componentes estáticos y dependientes del tiempo del potencial. Para la gran mayoría de los experimentos en los que usamos una sonda dependiente del tiempo para interactuar con el sistema, la sonda es extremadamente débil (en varios órdenes de magnitud) en comparación con el hamiltoniano natural del sistema. Esto significa que se trata mejor utilizando la teoría de la perturbación, por lo que la mejor estrategia es resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la parte estructural dominante del hamiltoniano (que generalmente no depende del tiempo) y luego preocuparse por la sonda.

Además, un gran número de experimentos se realizan, por diversas razones, utilizando potenciales oscilantes que son muy cercanos a los monocromáticos. Para esos potenciales, a menudo es posible pasar a un "marco giratorio" en el que la interacción hamiltoniana se vuelve estática, lo que hace que el análisis sea mucho más simple.

Aún así, hay muchas situaciones en las que nada de esto es válido, particularmente si la sonda es lo suficientemente fuerte como para salir del régimen perturbativo. Pero incluso entonces, sigue siendo importante tener a mano la estructura del sistema (es decir, los estados propios del hamiltoniano libre de interacción), ya que generalmente son partes importantes del análisis, incluso cuando ya no juegan un papel explícito en la solución. el TDSE.

Si desea una exploración más profunda de estos temas, le recomiendo Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective de David Tannor .

Y finalmente,

Además, si queremos resolverlo numéricamente, me parece que tampoco podemos simplificar usando transformadas de Fourier de paso dividido o en una forma manejada por Runge-Kutta. ¿Es esto correcto?

No, no es. Los potenciales dependientes del tiempo son perfectamente solucionables utilizando los métodos numéricos estándar. Es posible que necesiten un pequeño ajuste, pero nada más.

Correcto, por supuesto que me había olvidado de estudiar perturbaciones dependientes del tiempo. ¿Podría nombrar algunos ejemplos en los que la sonda estaría fuera del régimen perturbativo (o simplemente un sistema que podría estudiarse sin la teoría de la perturbación)? En cuanto a los métodos numéricos, no veo cómo usar, por ejemplo, Runge-Kutta, ya que tengo entendido que RK4 resuelve ecuaciones de la forma ∂ t Ψ = F ( X , Ψ ) pero ahora tenemos F ( X , t , Ψ ) desde V depende de t además de X .
Buenos ejemplos de mi cuello de los bosques son la generación de armónicos de alto orden y la ionización por encima del umbral en el régimen de túnel. Sin duda hay otros.
Respecto a los métodos numéricos: ¿dudas seriamente de que el TDSE se pueda resolver numéricamente? Si solo le han mostrado una clase restringida de solucionadores de Runge-Kutta, busque un texto que trate variantes más amplias del método. Esta búsqueda en Google es un buen punto de partida: el zoológico de métodos para QM dependiente del tiempo es demasiado amplio para mencionarlo aquí. Prácticamente todos los métodos aquí , además de los métodos de valor propio, se pueden usar para problemas dependientes del tiempo.
No, por supuesto que no dudo que se pueda resolver numéricamente; simplemente no entiendo cómo se aplican los métodos estándar, lo que para mí equivale a RK (tengo una experiencia numérica PDE muy limitada). Gracias por los recursos.
¿Por qué asumimos que el potencial es independiente del tiempo en la ecuación de Schrödinger?
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