En muchas partes de la física (como la ley de distribución de velocidades de Maxwell) asumimos afirmaciones como:
Número de moléculas que tienen una velocidad entre a es .
Pero número de moléculas es siempre un número entero y por lo tanto es decir coeficiente diferencial de no se puede determinar debido a la discontinuidad infinita entre dos números enteros. Entonces, ¿por qué escribimos y calculamos usando ?
Creo que las otras respuestas se resumen más fácilmente como:
Una función continua es más fácil de integrar (o diferenciar) y proporciona una respuesta que es lo suficientemente precisa para cualquier uso.
Esto es similar a reemplazar distribuciones binomiales con distribuciones continuas para poblaciones grandes.
Podemos considerar que este es el número medio de moléculas, o el valor esperado. Casi siempre hay fluctuaciones aleatorias en el número de moléculas en cualquier intervalo dado, por ejemplo, si el 50 % de las veces esperamos 2 y el otro 50 % 3, el valor esperado o valor medio sería 2,5, aunque podemos nunca vea 2.5 moléculas. De esta manera, la distribución se vuelve continua, y usar d(n) tiene más sentido.
El problema es que para trabajar con distribuciones de velocidades/densidades, etc., debemos considerar "todos los valores posibles". Puede que no haya, en un momento dado, ninguna molécula con ese valor preciso; de hecho, si especifica el valor con suficiente precisión, nunca habrá una sola molécula que tenga ese valor.
Y así pasamos del reino de "discreto" a "continuo". Si tengo un objeto con una velocidad que cambia uniformemente entre 1 m/s y 2 m/s, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una velocidad de 1,5 m/s? es cero Pero podría encontrar un objeto con una velocidad entre 1,45 m/s y 1,55 m/s: la probabilidad sería del 10 % (ya que 1,55 - 1,45 = 0,1, que es el 10 % del rango total).
Si busco un objeto con esa velocidad, no encontraré ninguno (el 90 % de las veces) o uno (el 10 % de las veces). Lo expreso diciendo que la probabilidad es del 10%. Nunca encontraré 0.1 partícula allí...
Matemáticamente, podemos describir la función de densidad de probabilidad como una función que indica la probabilidad de encontrar algo "en un intervalo" (nunca "en un valor"). Ese intervalo puede ser finito, como lo fue en mi ejemplo anterior (0,1 m/s), pero matemáticamente podemos hacer que el tamaño del intervalo "llegue a cero" escribiendo como el tamaño del intervalo.
A medida que el intervalo se vuelve más pequeño, la probabilidad se vuelve más pequeña, pero aun así, la suma de todas las probabilidades (la integral) puede ser finita.