¿Cómo son equivalentes las definiciones de un estado coherente?

Estoy tratando de entender los estados coherentes . Por lo que pude encontrar, hay tres definiciones equivalentes y, en general, muchas fuentes parten de una diferente, pero aún no logro ver su equivalencia. Reitero las definiciones y sus equivalencias dadas en la página de Wikipedia:

  1. Estado propio del operador de aniquilación:
    a | α ⟩ = α | α ⟩
  2. Operador de desplazamiento del vacío:
    | α ⟩ = mi α a † − α ∗ a | 0 ⟩
  3. Estado de mínima Incertidumbre:
    Δ X = Δ PAGS = 1 2

¡No veo cómo son iguales! ¿Puede alguien explicar cómo derivar estos uno del otro?

Tenga en cuenta que (1) no se sigue directamente de (3) porque los estados comprimidos también son estados de incertidumbre mínima, pero no necesitan ser estados propios de a . Sin embargo, siempre habrá algún operador de aniquilación. b ^ = tu X ^ + i v y ^ para los cuales son estados propios.
@EmilioPisanty, por eso (3) tiene \delta X = \delta P (en la elección de unidades donde m= \hbar = \omega = 1). Los estados comprimidos no satisfacen la igualdad.
Definitivamente puedes hacer eso, pero ten en cuenta que la configuración ω = 1 no es de ninguna manera una unidad natural. Puedes configurar − i [ X , pags ] = ℏ = 1 , pero especificando ω y metro hace un poco de violencia al espacio de fase. Deberías decir Δ X Δ pags = 1 2 ⇒ ∃ a :   a | α ⟩ = α | α ⟩ , o establezca las incertidumbres mínimas que está estableciendo en términos de las constantes que definen a en términos de X y pags .
Hmm, me gusta el término 'violencia al espacio de fases'. O, en cambio, se puede definir (3) para que se parezca a Δ X = ℏ 2 metro ω , Δ PAGS = ℏ metro ω 2 ? En este caso, ¿esta relación también será satisfecha por los estados comprimidos?
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/60655/2451 y enlaces en el mismo.

Respuestas (1)

Consulte el buen complemento sobre estados coherentes en el libro de Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë, volumen 1. Comienza definiendo estados coherentes como ninguno de los que menciona, y luego deriva todas las propiedades.

Para responder a la pregunta, si comienza con la definición 2, puede mostrar fácilmente 1, y luego desde 2, 3. Primero expanda el exponencial usando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff :

mi α a † − α ∗ a = mi α a † mi − α ∗ a mi − 1 2 | α | 2 [ a † , − a ]
y dejar que actúe en el estado de vacío | 0 ⟩ Llegar
| α ⟩ = mi − | α | 2 / 2 mi α a † mi − α ∗ a | 0 ⟩ = mi − | α | 2 / 2 mi α a † | 0 ⟩ = mi − | α | 2 / 2 ∑ norte = 0 ∞ α norte norte ! | norte ⟩
Ahora que tienes la expresión para | α ⟩ en términos de estados que ya conoces, puedes operar a en él para encontrar que de hecho es un estado propio del operador de reducción, mostrando que la definición 2 implica la definición 1.

La propiedad 3 se sigue de encontrar ⟨ X 2 ⟩ y ⟨ PAGS 2 ⟩ para este estado, expresando los operadores en términos de a y a † , un ejercicio bastante estándar.

Lo siento, ¿puedes explicar por qué? mi − α ∗ a | 0 ⟩ = | 0 ⟩ ?No veo eso. Si expando la función exponencial en una serie de Taylor, entonces todo este término debería calcularse como cero.
@Quantumwhisp cuando lo expande el término de orden cero (en a ) de la serie exponencial es la identidad, lo que da | 0 ⟩ .
El valor esperado de, digamos, el operador numérico, en un estado coherente | α > resulta ser | α | 2 . si elegimos α = | α | mi yo θ , entonces ¿cuáles son los valores típicos para | α | y θ ?
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