¿Por qué ambas formas equivalentes de esta función delta no dan la respuesta correcta?

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¿Por qué ambas formas equivalentes de esta función delta no dan la respuesta correcta?

dhfwei

Estoy un poco confundido sobre un problema básico que involucra una función delta de Dirac que se integra en una integral múltiple.

El problema original es encontrar la distribución de probabilidad en posición-momento $(z,p)$ espacio de una pelota que rebota hacia arriba y hacia abajo, dado que la pelota alcanza una altura máxima de $z=h$ . Ahora, un argumento básico de conservación de la energía nos da que $p(z) = \pm m \sqrt{2g(h-z)}$ dónde $m$ es masa y $g$ es la aceleración gravitacional. También sabemos que la densidad de probabilidad de encontrar la pelota en $z$ es inversamente proporcional a la velocidad de la pelota en $z$ , a saber $p(z)/m$ . Entonces, la distribución de probabilidad es

PAG (z, pag) = \frac{C}{\sqrt{2 gramo (h - z)}} [d (pag - metro \sqrt{2 gramo (h - z)}) + d (pag + metro \sqrt{2 gramo (h - z)})]

$P(z,p) = \frac{C}{\sqrt{2g(h-z)}}\left[ \delta(p-m\sqrt{2g(h-z)})+\delta(p+m\sqrt{2g(h-z)}) \right]$

dónde $C$ es un factor de normalización. Encontrar $C$ , podemos simplemente integrar $P$ encima $z$ y $p$ y establecer el resultado igual a $1$ , usando las funciones delta para hacer el $p$ integral e integrador $z$ de $0$ a $h$ , y obtenemos la respuesta correcta. Mi pregunta es, ¿por qué no funciona esta estrategia si escribimos

PAG (z, pag) = \frac{D}{| pag |} d (z - h + {pag}^{2} / (2 {metro}^{2} gramo)) ?

$P(z,p) = \frac{D}{|p|} \delta(z-h+p^2/(2m^2g))?$ En este caso, cuando intentamos encontrar la normalización

D

$D$ , si intentamos deshacernos de la función delta integrando sobre

z

$z$ y luego integramos sobre el rango apropiado de

p

$p$ , fallamos porque el

1 / | p |

$1/|p|$ la integral diverge, mientras que la

1 / \sqrt{2 g (h - z)}

$1/\sqrt{2g(h-z)}$ integral converge. ¿Que me estoy perdiendo aqui?

Respuestas (2)

¿Por qué ambas formas equivalentes de esta función delta no dan la respuesta correcta?

timeo · Answer 1

Para el segundo caso, desea dividir por la fuerza, no por la velocidad.

Básicamente, está calculando qué fracción del tiempo pasa en un punto particular en el espacio de fase.

Sin embargo, lo que tienes es una densidad de probabilidad. Entonces $P(z,p)$ es algo que multiplicas por un volumen en el espacio de fase para obtener una probabilidad.

Una forma correcta de obtenerlo sería considerar un período completo (por ejemplo, el tiempo de arriba hacia arriba o de abajo hacia abajo o desde cualquier punto del espacio de fase hacia sí mismo).

Un delta de Dirac tiene unidades. Tiene unidades de uno sobre el argumento, así que desde $\int \delta (x) dx=1$ entonces $\delta (x)$ tiene unidades de distancia inversa y $\int \delta (p) dp=1$ entonces $\delta (p)$ tiene unidades de impulso inverso.

Cuando integras sobre el impulso, obtienes una densidad de probabilidad para la posición. Esto tiene unidades que multiplicas por una distancia para obtener una probabilidad de estar en ese rango de distancia.

Estas densidades de probabilidad sobre posiciones son aquellas donde es inversamente proporcional a la velocidad. Entonces, de hecho, después de integrar el impulso, tiene una probabilidad por unidad de longitud y las probabilidades por unidad de longitud son inversamente proporcionales a la velocidad. Así que debería funcionar.

Sin embargo, si integra sobre la posición, entonces tiene una densidad de probabilidad para el impulso. Esto es algo que se multiplica por un rango de impulsos para obtener una probabilidad de tener un impulso en ese rango. No existe una regla de que este tipo de densidad sea inversamente proporcional a la velocidad. Y no lo es, es inversamente proporcional a la fuerza.

Esto es similar a cómo la densidad de energía es diferente para la frecuencia y la longitud de onda porque cada uno es algo que se multiplica por un rango de cosas para obtener la cantidad real de cosas. Vea mi respuesta en https://physics.stackexchange.com/a/165256 si necesita más detalles sobre las densidades en diferentes dominios unidos.

Repasemos de dónde viene la regla de la inversamente proporcional a la velocidad. Como una simplificación durante un intervalo de tiempo $\Delta t$ podrías viajar una distancia $\Delta z$ = $v\Delta t$ Y realmente la probabilidad que estás calculando es $\Delta t/T$ dónde $T$ es ese período que mencioné.

Así que la probabilidad de que estés en una región de ancho $\Delta z$ es proporcional a la cantidad de tiempo $\Delta t$ pasas ahí. Por lo tanto, inversamente proporcional a la velocidad, de hecho es $\Delta z/(vT).$ Entonces la densidad espacial es $1/(vT).$ Y esta regla no se aplica si pregunta cuánto tiempo pasa algo en una región de tamaño $\Delta p.$ Entonces, no divida por velocidad si desea una densidad de probabilidad de estar dentro de un rango de impulsos de ancho $\Delta p.$

Para hacer la densidad de probabilidad para los intervalos de momento, use $\Delta p$ = $F\Delta t$ entonces la probabilidad es $\Delta t/T$ = $\Delta p/(FT)$ por lo que la densidad de probabilidad para los intervalos de cantidad de movimiento es $1/(FT).$

Entonces, una densidad es como el delta de Dirac, es algo que integras para obtener la probabilidad, pero debe ser por intervalo de distancia o por intervalo de impulso para que sea algo que puedas integrar.

Y la versión de impulso debería darle una pausa, ya que generalmente necesita tener en cuenta correctamente la fuerza cuando gira en el suelo. Así que el exceso de conteo es un tema a considerar.

qmecanico · Answer 2

TL; DR: la sustitución dentro de la función delta produce un factor jacobiano

\begin{matrix} (1) & d (F (v)) = \sum_{v_{(0)}, F (v_{(0)}) = 0} \frac{1}{| F^{'} (v_{(0)}) |} d (v - v_{(0)}) . \end{matrix}

$\tag{1} \delta(f(v))~=~ \sum_{v_{(0)},f(v_{(0)})=0 }\frac{1}{| f^{\prime}(v_{(0)})|} \delta(v-v_{(0)}).$

Aquí la suma es sobre los ceros $v_{(0)}$ de la función $f(v)$ .

Consideremos por simplicidad la velocidad $v$ en lugar de impulso $p=mv$ . Entonces la conservación de la energía

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} v^{2} + gramo z = gramo h, 0 \leq z \leq h, | v | \leq \sqrt{2 gramo h}, \end{matrix}

$\tag{2} \frac{1}{2}v^2+gz ~=~gh, \qquad 0\leq z\leq h, \qquad |v|~\leq~\sqrt{2gh},$

produce una parábola en el $(v,z)$ avión. Si definimos una función

\begin{matrix} (3) & F (v) := z - h + \frac{v^{2}}{2 gramo}, \end{matrix}

$\tag{3} f(v)~:=~z-h +\frac{v^2}{2g},$

entonces ec. (1) se convierte

\begin{matrix} (4) & d (z - h + \frac{v^{2}}{2 gramo}) = \frac{gramo}{| v |} \sum_{\pm} d (v \pm \sqrt{2 gramo (h - z)}) . \end{matrix}

$\tag{4} \delta(z-h +\frac{v^2}{2g}) ~=~\frac{g}{|v|}\sum_{\pm} \delta(v\pm \sqrt{2g(h-z)}).$

Nótese en particular que el factor $\frac{1}{|v|}$ en el lado derecho de la ec. (4) no aparece en el lado izquierdo.

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dhfwei

Respuestas (2)

timeo

qmecanico

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