Polarización y simetría de calibre

En QFT, la variable dinámica es la de cuatro potenciales$A_\mu$. El campo electromagnético está definido por$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, un tensor antisimétrico que tiene seis componentes independientes: 3 para el campo eléctrico y 3 para el campo magnético$E^i = - F^{0i}$,$B^i = -\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}F^{jk}$. Las ecuaciones de Maxwell son

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu \partial_\mu A^\mu = 0$$ que se deriva del siguiente lagrangiano $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$ Además, el potencial de cuatro tiene una simetría de calibre, lo que significa que los observables no cambian con la transformación. $$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \chi$$ Esto nos permite fijar diferentes calibres que pueden simplificar (o no) los cálculos. Por ejemplo, uno puede elegir$A$de modo que$A^0 = 0$y$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$(llamado indicador de radiación). Con estas elecciones, la ecuación de Maxwell se reduce a una ecuación de Klein-Gordon sin masa $$\partial_\mu \partial^\mu A^i = 0$$ Una solución particular de esta ecuación es $$A^\mu(k, \lambda) = \epsilon^\mu(k, \lambda) a_{k,\lambda} e^{-ikx} + {\epsilon^\mu}^*(k, \lambda) a_{k,\lambda}^*e^{ikx} \qquad \text{with}\quad k_\mu k^\mu =0$$ Aquí$a_k$es la amplitud del modo (que se convertirá en el operador de aniquilación en la cuantificación canónica) y$\epsilon^\mu$el vector de polarización, y$\lambda$es un índice para la base de los vectores de polarización. En la solución general, debe sumar todos los momentos y polarizaciones posibles. Utilizando el medidor de radiación,$A^0 = 0$implica que$\epsilon^0 =0$y$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$implica$k_i\epsilon^i = 0$, esto es, la polarización habitual en la electrodinámica clásica, perpendicular a la dirección de propagación. Como puedes ver, de los 4 posibles grados de libertad para la polarización, uno se elimina mediante la libertad de medida y el otro con las ecuaciones de movimiento.

Otra posible elección de calibre es la de 't Hooft y Feynman . Esta vez no imponemos nada directamente sobre los cuatro potenciales, sino que rompemos a mano la simetría de norma en el Lagrangiano.

$$\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2$$ El punto en este enfoque es que necesita tener los momentos canónicos conjugados para cada componente en$A_\mu$para la cuantización canónica. Como el Maxwell Lagrangiano establece que$\partial_0 A^0 = 0$, te encuentras en problemas. Puedes eliminar el$A^0$en conjunto (como arriba) o incluir un término ad-hoc para hacer$\partial_0 A^0 \neq 0$y desecharlo más tarde. Con este nuevo Lagrangiano, obtienes nuevamente una ecuación de Klein-Gordon sin masa $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0$$ Ahora tienes los cuatro grados de libertad para el vector de polarización, o al menos aparentemente. Otro problema con este indicador es que un cuatro potenciales con polarización$\epsilon^\mu(k,0) =( \epsilon, 0, 0, 0)$tiene norma negativa. La solución es la cuantización de Gupta-Bleuler : requerimos cualquier estado físico$|\psi\rangle$,$|\phi\rangle$para verificar $$\langle \psi | \partial_\mu A^\mu |\phi \rangle = 0$$ Al hacer cumplir esta condición, se encuentra que la polarización temporal y longitudinal deben presentarse juntas en cualquier estado físico, reduciendo así los grados de libertad en uno. Además, los estados con esta extraña polarización temporal-longitudinal tienen norma cero, energía cero, impulso cero, etc. Por lo tanto, puede descartarlos sin ninguna consecuencia física y eliminar efectivamente otro grado de libertad. Al final, solo retienes las viejas polarizaciones transversales.

tl; dr: En cualquier elección de calibre, hay dos polarizaciones, perpendiculares a la dirección de propagación.

Polarización del campo eléctrico.

Una vez que tenga los cuatro potenciales, es fácil obtener el campo eléctrico. Para los cuatro potenciales anteriores

$$E^i = - F^{0i} = \partial^i A^0 - \partial^0 A^i = i \omega_k \left( -\epsilon^i(k, \lambda) a_{k,\lambda} e^{-ikx} + {\epsilon^i}^*(k, \lambda) a^*_{k,\lambda} e^{ikx} \right) = 2 \omega_k \textrm{Im}[\epsilon^i(k,\lambda) a_{k,\lambda}]\sin(\omega_k t - \vec{k}\cdot \vec{x})$$ Así que hemos recuperado una onda plana típica de amplitud$E_0 = 2\omega_k \textrm{Im} (a_{k,\lambda})$y vector de polarización$\epsilon^i$.

Por supuesto se puede tener la superposición de varias ondas planas con diferentes polarizaciones, y de esta forma obtener polarizaciones circulares y polarizaciones elípticas. En QFT, los fotones polarizados circularmente son especialmente importantes porque son estados propios de helicidad.