¿Cómo contar el número de modos/polarizaciones de una teoría de campo gaussiana?

Una teoría de campo gaussiana (libre) se describe mediante una acción cuadrática del campo, por ejemplo$S=\int\psi^\dagger K\psi$(o$S=\frac{1}{2}\int\phi^\intercal K\phi$para campos reales). Por lo general, uno solo necesita diagonalizar el kernel de acción$K$, entonces cada vector propio corresponde a un modo/polarización del campo. Por ejemplo,

$$S=\int \psi^\dagger(-i\partial_\tau+H)\psi\stackrel{\text{diag}}=\sum_n\psi_n^\dagger(-\omega+E_n)\psi_n,$$ donde cada uno $n$etiqueta una moda del campo $\psi$, y la relación de dispersión (o el espectro de energía) se obtiene al establecer el valor propio en cero, como $(-\omega+E_n)=0$y por lo tanto $\omega=E_n$.

Sin embargo, cuando traté de aplicar este enfoque a una teoría de calibre, tuve algunos problemas. Por ejemplo, considere la teoría de Maxwell (con una métrica euclidiana en 4 dimensiones),

$$S=\int\frac{1}{4}F^2=\int\frac{1}{2}A^\mu\Pi_{\mu\nu}A^\nu,$$ dónde $\Pi_{\mu\nu}=k^2\delta_{\mu\nu}-k_\mu k_\nu$es el kernel de acción, y $k_\mu=i\partial_\mu$es el vector energía-momento. $\Pi$es un $4\times 4$matriz que se puede diagonalizar. Habrá un modo cero, correspondiente a la transformación de calibre del campo de calibre (como se puede ver a partir de su vector propio $A_\mu\sim\partial_\mu \phi$), que no debe contarse como un modo físico. Hasta ahora, todo bien. Pero todavía hay tres modos distintos de cero (degenerados), con el mismo valor propio $k^2$. En este punto, tendería a concluir que debería haber tres modos físicos, todos degenerados en la relación de dispersión $k^2=0$. Pero, de hecho, los fotones solo tienen dos modos transversales. Mi pregunta es ¿qué tiene de malo el modo de conteo? ¿No debería el modo longitudinal ya excluido como el modo cero (modo de calibre), pero por qué todavía nos quedan tres modos propios en $\Pi$?

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Si realizamos una pseudo-inversa de$\Pi$, el propagador de fotones debe ser

$$-(\Pi^{-1})_{\mu\nu}=\frac{1}{k^2}\left(\delta_{\mu\nu}-\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}\right),$$ que también tiene tres polos a lo largo de la dispersión $k^2=0$. Si cada polo corresponde a un modo físico, entonces habrá tres modos de fotones, lo que todavía está en contradicción con el hecho de que los fotones solo tienen dos modos transversales. ¿Cómo hacer el modo de conteo correctamente?