Encontrar la función de Green usando el método de expansión de funciones propias

No puedo comentar, por eso publico una respuesta.

Estoy de acuerdo con las respuestas anteriores: no necesita la función de Green para resolver esta ecuación, solo necesita separar las variables ingresando un sistema de coordenadas esféricas como este$\psi(x,\theta,\phi)=R(r)\psi_{ang}(\theta,\phi)$. Después de hacer esto obtendrás dos ecuaciones separadas en funciones$R(r)$y$\psi_{ang}(\theta,\phi)$: Ecuación de Bessel para$R(r)$, consulte Funciones de Bessel y ecuación para ángulos. La solución de la segunda ecuación está representada por armónicos esféricos .

PD También es más fácil buscar$R(r) = \frac{\chi(x)}{x}$. Entonces obtendrás exactamente la ecuación de Bessel.

No creo que necesite la función de Green para obtener el resultado requerido. En vista de la simetría del problema, es natural cambiar a coordenadas esféricas. Entonces terminas con una parte radial que es una combinación lineal de una función esférica de Bessel y Neumann para cada$l$. Las condiciones de contorno y el comportamiento en$0$luego fija los coeficientes. Ver, por ejemplo, A. Messiah, Quantum Mechanics I, en particular la parte sobre los potenciales centrales y el Apéndice.

La solución propuesta que se da en la última expresión es en coordenadas cilíndricas, lo que sería una elección inconveniente para este problema. Cuando se resuelve la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas, lo que sería más conveniente para el problema planteado, se obtienen soluciones dadas por el producto de funciones de Bessel esféricas (funciones de Bessel con índices semienteros), polinomios de Legendre (que tienen otro índice) y funciones armónicas.

Para resolver el problema de la condición de contorno de Dirichlet [digamos$\Psi(r=r_0)=0$] uno impondría esto en la parte radial de la solución, que es la función de Bessel esférica. Habría diferentes soluciones, porque la función de Bessel esférica se vuelve cero en diferentes puntos. Estas diferentes soluciones representan diferentes modos, distinguidos por un índice modal de suma. Sumado a los dos índices modales que ya están presentes para las soluciones, uno termina con los tres índices, como se indica en la primera expresión.