Comprender qué es la distribución de Bose-Einstein

La distribución no significa automáticamente una distribución probabilística ; más bien, en el caso de las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein, hablamos de distribuciones sobre energía/frecuencia . Por ejemplo, uno puede ver fácilmente que no son normalizados, si están integrados por energía.

La distribución de Fermi-Dirac se puede interpretar como una probabilidad de que el estado de energía dado esté ocupado o vacío, pero esta interpretación es problemática con la distribución de Bose-Einstein, que puede tomar valores superiores a 1.

yo no diría eso$D\left(\omega\right)$da cuenta del número de fonones; Yo diría que explica la cantidad de modos vibratorios (fonones) en una energía dada. Un fonón es una unidad de energía en un modo vibratorio. Entonces,$\left<n\right>$es el número promedio de fonones en un modo vibracional dado (lo que dijo Samuel Weir).

Entonces el integrando es la energía de un fonón.$\hbar \omega$veces el número promedio de esos fonones en un modo$\left<n\right>$veces la densidad de modos a esa energía$D\left(\omega\right)$.

Para una frecuencia de oscilación dada$\omega$, la energía media de este modo de oscilación es:

$$E_\omega = \frac{1}{Z} \sum_{n=0}^\infty \left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar \omega \, e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} \tag{1}$$ dónde$Z$es la normalización de probabilidad (también conocida como función de partición) $$Z = \sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} = e^{-\beta\frac{1}{2}\hbar \omega}\sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta n \hbar \omega} \right\}=e^{-\beta\frac{1}{2}\hbar \omega} \frac{1}{1-e^{-\beta\hbar \omega}}=\frac{1}{e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2}} \tag{2}$$

Usando la ecuación (2) para expresar la ecuación (1) como

$$\begin{align*} E_\omega &= -\frac{1}{Z} \frac{\partial}{\partial \beta} \sum_{n=0}^\infty \left\{ e^{-\beta \left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega} \right\} = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}\\ &= -\frac{\partial }{\partial \beta} \left\{ -\ln \left(e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2} \right)\right\} \\ &=\frac{e^{\beta\hbar \omega/2}+e^{-\beta\hbar \omega/2}}{e^{\beta\hbar \omega/2}-e^{-\beta\hbar \omega/2}}\frac{1}{2}\hbar \omega = \coth\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right)\frac{1}{2}\hbar \omega \end{align*}$$ Por lo tanto, para un fijo$\omega$, el modo de oscilación promedio del fonón$\langle n \rangle$: $$\langle n \rangle = \frac{E_\omega}{\hbar\omega} = \frac{1}{2} \coth\left( \frac{\beta \hbar \omega}{2} \right).$$

Luego consideramos todas las diferentes frecuencias de oscilación

$$U = \int_0^{\omega_D} E_\omega D(\omega) d\omega \tag{3}$$ dónde$D(\omega)$es la densidad de estado como el número de modos de oscilación entre$\omega$y$\omega + d\omega$.

Aparentemente, se adoptará el modelo de Debye, conocido como modo acústico.$^1$Asume una dispersión lineal.

$$\omega = v_s k.$$ dónde$v_s$es la velocidad del sonido.

Por lo tanto, la densidad 1-d si el estado

$$D(\omega) = \frac{L}{2\pi}\frac{dk}{d\omega}= \frac{L}{2\pi v_s}$$ $L$es la longitud del sistema.

En la ecuación. (3), hay un parámetro más,$\omega_D$, la frecuencia de Debye, definida como el límite superior de la frecuencia de corte para hacer que el número total de modos sea igual al número total de osciladores (átomos o número de celdas).

$$N = \int_0^{\omega_D} D(\omega) d\omega = \int_0^{\omega_D} \frac{L}{2\pi v_s} d\omega = \frac{L}{2\pi v_s} \omega_D.$$

Por lo tanto

$$\omega_D = 2\pi v_s \frac{N}{L}.$$

*1. The other well known model is the Einstein model, which is easier

$$D(\omega) = \delta(\omega - \omega_o).$$ también conocido como el modo óptico de fonón.