Radiación de Hawking en las coordenadas de Kruskal-Szekeres

Como dices correctamente, las coordenadas de Kruskal-Szekeres son regulares en el horizonte, donde no sucede nada especial, como se espera del principio de equivalencia. Los estados cuánticos asociados son un estado de vacío, y un detector local no detectará partículas en el horizonte.

Por el contrario, un observador lejos del agujero negro, para el que las coordenadas tradicionales de Schwarzschild son más adecuadas, verá un flujo de radiación procedente del agujero negro.

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Más matemáticamente, considere por simplicidad un campo escalar en dos dimensiones, ya que podemos suprimir las variables angulares.

$$S[\phi]=\frac{1}{2} \int d^2 x \, \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \phi_{, \mu}\phi_{, \nu}$$

Dado que la acción es conformemente invariante, podemos escribir la solución de la ecuación escalar de movimiento en términos de diferentes sistemas de coordenadas. En primer lugar, elegimos un marco que sea singular en el horizonte, por ejemplo, las coordenadas del cono de luz$(\tilde{u},\tilde{v})$obtenido de$(t,r)$a través de la coordenada de la tortuga:

$$\tilde{u}=t-r^* \qquad \tilde{v}=t+r^* \qquad dr=\left( 1-\frac{2M}{r} \right) dr^*$$

En segundo lugar, elegimos un marco que sea regular en todas partes excepto en la singularidad central, como el cono de luz Kruskal-Szekeres$(u,v)$definido por

$$u=-4 M e^{-\frac{\tilde{u}}{4M}} \qquad v = 4M e^{\frac{\tilde{v}}{4M}}$$

Un observador en reposo ubicado lejos asociará partículas con modos de frecuencia positivos$\Omega$con respecto a la coordenada de tiempo t. La expansión de los campos escalares será (ignorando la parte móvil izquierda por simplicidad):

$$\hat{\phi}= \int_{0}^{\infty} \frac{d\Omega}{(2\pi^{1/2})} \frac{1}{\sqrt{2\Omega}} \left[e^{-i\Omega \tilde{u}} \hat{b}_{\Omega}^-+e^{i\Omega \tilde{u}} \hat{b}_{\Omega}^+\right]$$

donde el operador de aniquilación define el vacío de Boulware:

$$\hat{b}_{\Omega}^- |0_B> =0$$

Por lo tanto, este vacío no contiene partículas desde el punto de vista del observador lejano. Sin embargo, este vacío no es físico ya que es singular en el horizonte y esto requeriría una cantidad infinita de energía para preparar tal estado. Para las coordenadas de Kruskal:

$$\hat{\phi}= \int_{0}^{\infty} \frac{d\omega}{(2\pi^{1/2})} \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \left[e^{-i\omega u} \hat{a}_{\omega}^-+e^{i\omega u} \hat{a}_{\omega}^+ \right]$$

$$\hat{a}_{\omega}^- |0_K> =0$$

El vacío de Kruskal (también conocido como vacío de Hartle-Hawking) se comporta bien en el horizonte y es adecuado para ser un estado físico. Tenga en cuenta que contiene partículas desde el punto de vista del observador lejano, de hecho, puede relacionar los dos conjuntos de operadores de creación-aniquilación:

$$\hat{b}_{\Omega}^-= \int_{0}^{\infty} d\omega [\alpha_{\Omega \omega} \hat{a}_{\omega}^- -\beta_{\Omega \omega} \hat{a}_{\omega}^+] \,\,$$

a través de los coeficientes de Bogolyubov, lo que resulta en$\hat{b}_{\Omega}^- |0_K> \neq 0$. En resumen, un observador lejano verá un espectro de partículas escalares provenientes del agujero negro:

$$\langle \hat{N}_{\Omega} \rangle \equiv <0_K|\hat{b}_{\Omega}^+ \hat{b}_{\Omega}^- |0_K>= \int d \omega |\beta_{\Omega \omega}|^2$$

$$n_{\Omega}=\frac{\langle \hat{N}_{\Omega} \rangle }{V}= \frac{1}{e^{\frac{2\pi \Omega}{\kappa}}-1} \qquad T_{BH}=\frac{\kappa}{2 \pi} = \frac{1}{8 \pi M}$$

para un volumen finito$V$. En particular, este es un espectro de cuerpo negro con temperatura$T_{BH}$.

Una referencia: Introducción a los Efectos Cuánticos en Gravedad