Perfil de temperatura del fluido que fluye dentro de una tubería y el perfil de temperatura de la tubería misma

Actualmente estoy tratando de diseñar un intercambiador de calor que transfiera calor a través de un fluido de trabajo de vapor que fluye sobre una sección de tubería que transporta otro fluido que fluye.

Específicamente, tengo un fluido, (llámalo$fluid1$) que naturalmente convección a una temperatura constante de$T=T_{sat}$sobre un tubo cilíndrico de longitud$L$, conductividad térmica$k$, y radios interior y exterior$r_i$y$r_o$. Luego, Fluid1 calienta las paredes de la tubería, calentando así otro fluido (fluid2) que fluye internamente dentro de la tubería desde una temperatura de entrada fija$T_i$a una temperatura de salida deseada$T_o$a un caudal másico fijo$\dot{m}$. (Aquí el fluido dentro de la tubería está siendo calentado por el fluido exterior a una temperatura de salida deseada$T_o$).

Quiero determinar las ecuaciones diferenciales para el perfil de temperatura del fluido que fluye dentro de la tubería, así como el perfil de temperatura del material de la tubería.

No estoy muy seguro de cómo hacer esto. ¿Existe una ecuación de Navier-Stokes con la temperatura? Conozco la ecuación del calor por conducción:

$\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(kr\frac {\partial T}{\partial r})+\frac {1}{r^2}\frac {\partial}{\partial \phi} (k\frac {\partial T}{\partial\phi}+\frac {\partial}{\partial z}(k\frac {\partial T}{\partial z})+\dot{q}=\rho c_p\frac {\partial T}{\partial t}$

Aquí podemos suponer un estado estacionario y sin variación de temperatura dentro de la dirección angular$\phi$, y por lo tanto:

$\frac {1}{r}\frac {\partial}{\partial r}(kr\frac {\partial T}{\partial r})+\frac {\partial}{\partial z}(k\frac {\partial T}{\partial z})+\dot{q}=0$

No estoy muy familiarizado con esto y agradecería cualquier guía/ayuda.

¡Gracias de antemano!