Derivación de la ecuación general de transferencia de calor y entropía

En el Volumen 6 de Landau & Lifshtiz sobre mecánica de fluidos, derivamos la ecuación general de transferencia de calor comenzando con la expresión

$$\partial_t \left( \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varepsilon \right) = - \vec{\nabla} \cdot \left[ \rho \vec{v} \left( \frac{1}{2} v^2 +w \right) \right]$$ derivado de la conservación de la energía para un fluido ideal. Aquí$\rho$es la densidad,$v$la velocidad,$\varepsilon$la energía interna por unidad de masa y$w$la entalpía por unidad de masa.

Argumentamos que es necesario agregar dos términos:

• $- v_i \sigma_{ij}$debido al flujo relacionado con la fricción interna ($\sigma_{ij}$es el tensor de tensión viscoso)
• $q_i = -\kappa \partial_i T$, la densidad de flujo de calor$q$con conductividad térmica$\kappa$y temperatura$T$.

Esto entonces da la ecuación final

$$\partial_t \left( \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varepsilon \right) = - \vec{\nabla} \cdot \left[ \rho \vec{v} \left( \frac{1}{2} v^2 +w \right) - \vec{v}\cdot \sigma -\kappa \vec{\nabla} T \right]$$

Esto está bien, sin embargo, para derivar el flujo de energía$\rho \vec{v} \left(\frac{1}{2} v^2 +w \right)$para el caso de fluido ideal asumimos la ecuación adiabática general

$$\partial_t s + v_i \partial_i s = 0$$ con$s$denotando la entropía por unidad de masa. Lo cual requiere la ausencia de intercambio de calor, es decir, un movimiento adiabático del fluido. Asumiendo esto, podemos cancelar los términos

• $+\rho T v_i \partial_i s$proveniente de la parte de energía cinética después de sustituir la ecuación de Euler$\rho \partial_tv_i + v_j \partial_j v_i = -\partial _i P$($P$denotando la presión) y usando la relación termodinámica$\mathrm{d}w=T\mathrm{d}s + 1/\rho \mathrm{d}P$
• $- \rho T v_i \partial_i s = \rho T \partial_t s$que se origina del término de energía interna usando$\rho\mathrm{d}\varepsilon=\rho T\mathrm{d}s+P/\rho\mathrm{d}\rho$

Si ahora agregamos el término para la densidad de flujo de calor mencionado anteriormente, la ecuación adiabática general ya no se cumple (?!), y por lo tanto no podemos cancelar los términos mencionados, ¿verdad? Entonces, ¿por qué estos términos no aparecen en la ecuación general?