Forma explícita de la producción de entropía en hidrodinámica.

Cada ecuación de transporte continuo se deriva de una contraparte de sistema cerrado utilizando el teorema de transporte de Reynolds. En general, los pasos para derivar una expresión para la tasa de generación de entropía son

1. Aplique el Teorema del Transporte de Reynolds a la Conservación de la Energía, dando una ecuación para la tasa de cambio de la energía (interna más cinética).
2. Reconocer que $$\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}\left(\frac{\left| \vec{v} \right|^2}{2} \right) = \vec{v} \cdot \rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} \vec{v}$$ y, por lo tanto, una ecuación para la tasa de cambio de la energía cinética se puede derivar directamente de la ecuación del momento
3. Reste el resultado (2) del resultado (1) para obtener una ecuación para la tasa de cambio de la energía interna
4. Aplicar el Teorema del Transporte de Reynolds al Balance de Entropía. Esto da una ecuación con la tasa de cambio de entropía y la tasa de generación de entropía.
5. Aplicar la relación de Gibbs $$\text{d} u = T \text{d}s - P \text{d}v$$ relacionar la tasa de cambio de entropía con la tasa de cambio de energía interna y el volumen específico: $$\begin{align*} \frac{\text{D}}{\text{D}t} u &= T \frac{\text{D}}{\text{D}t}s - P \frac{\text{D}}{\text{D}t}v \\ T \frac{\text{D}}{\text{D}t}s &= \frac{\text{D}}{\text{D}t} u + {P \frac{\text{D}}{\text{D}t}v} \end{align*}$$ Tenga en cuenta que despreciaré la tasa de cambio del volumen específico porque presumo que Landau trata al fluido como incompresible.
6. Subresultado (3) en resultado (5)
7. Subresultado (6) en resultado (4)
8. Romper el tensor de tensión total$\sigma$en un componente isotrópico de presión interna$-pI$(dónde$I$es la matriz identidad) y un componente viscoso$\tau$, es decir,$\sigma=-pI + \tau$. El componente de presión se cancelará, lo que demuestra que el trabajo realizado por la presión no genera entropía y, por lo tanto, es reversible (nota: esta cancelación ocurre incluso si el fluido es comprimible; el trabajo por presión termodinámica siempre es reversible)
9. Reorganizar para la generación de entropía

Suponiendo que Landau desprecia la transferencia de calor, los resultados de estos pasos serán

1. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u+ke) = \vec{\nabla}\left(\vec{v}\cdot\sigma\right) + \vec{v} \cdot \vec{b}$dónde$\vec{b}$es la fuerza del cuerpo
2. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (ke) = \vec{v}\cdot \vec{\nabla}\sigma + \vec{v} \cdot \vec{b}$
3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = \sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$
4. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (s) = \rho\dot{s}_\text{gen}$(otros términos aparecerían aquí si la transferencia de calor estuviera presente)
5. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}s = \frac{1}{T}\left( \rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} u \right)$
6. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}s = \frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$
7. $\frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v} = \rho\dot{s}_\text{gen}$
8. El resultado es$\frac{1}{T}\tau:\vec{\nabla}\vec{v} = \rho\dot{s}_\text{gen}$porque$I:\vec{\nabla}\vec{v} = 0$
9. $\rho\dot{s}_\text{gen} = \frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$

Si el tensor de tensión viscoso está dado por

$$\tau = \frac{\eta}{2}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right) = \frac{\eta}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)$$ entonces los resultados importantes son:

3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = \frac{\eta}{2}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right)^2 = \frac{\eta}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)^2$
4. $\rho\dot{s}_\text{gen} = \frac{\eta}{2T}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right)^2 = \frac{\eta}{2T} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)^2$

En el caso invisible,$\tau = 0$, por lo que estos resultados se simplifican a

3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = 0$
4. $\rho\dot{s}_\text{gen} = 0$

Me doy cuenta de que la ecuación que cita para la tasa de cambio de la energía cinética está estrechamente relacionada con la que cito para la tasa de cambio de la energía interna. Creo que la expresión de Landau proviene de suponer que la energía total del sistema es constante, y por lo tanto el cambio en la energía cinética debe ser igual al negativo del cambio en la energía interna... o algo por el estilo.

Volviendo a tu pregunta:

• La derivación anterior muestra cómo se pueden derivar los resultados viscoso e invisible utilizando el mismo argumento. Se puede afirmar que la evidencia experimental muestra que el flujo no viscoso es reversible y, por lo tanto, no genera entropía, pero el argumento correspondiente para el caso viscoso solo respalda la conclusión de que la generación de entropía es distinta de cero (no genera una expresión específica )
• La expresión que usted propone para la generación de entropía resulta tener la misma forma que la que yo derivo, pero no vería esto como un resultado general: la generación de entropía no siempre está relacionada con la tasa de cambio en la cinética. energía de esta manera

• Lo que sucede en términos de entropía es:

  • el componente de presión del estrés funciona de manera reversible y, por lo tanto, no genera entropía
  • el componente viscoso de la tensión (que está presente siempre que hay gradientes de velocidad en un medio viscoso) funciona de manera irreversible y, por lo tanto, genera entropía. Podemos trazar una analogía entre la transferencia de calor y la disipación viscosa: ambas generan entropía al hacer que los gradientes se aplanen.$T$gradientes para la transferencia de calor, y$\vec{v}$gradientes para disipación viscosa

Nótese que también podemos inferir que$\eta \geq 0$, como negativo$\eta$daría generación de entropía negativa.