Comprender el espacio de configuración del cuerpo rígido, la necesidad del marco integral

Me gustaría entender más profundamente el concepto de espacio de configuración de un cuerpo rígido. La pregunta surge de las fórmulas con respecto a las cantidades físicas conocidas para cuerpos rígidos. Tomemos en examen uno aleatorio, por ejemplo el momento angular METRO q , con respecto a q ∈ mi 3 , dónde mi 3 es el espacio afín subyacente:

METRO q = ∫ C ρ ( X ′ ) ( x ( q ; X ′ ) − X q ) × v ( q , q ˙ , X ′ ) d X ′ = ∫ C ρ ( X ′ ) ( X O ′ + R X ′ − X q ) × ( v O ′ + ω × R X ′ ) d X ′

Aquí C denota el cuerpo rígido, Σ ′ , ρ la densidad (integrable en la coordenada de C en Σ ′ ), q = ( X O ′ , α ) , R = R ( α ) dónde α = ( φ , θ , ψ ) son los ángulos de Euler .

Lo que me pregunto es por qué necesitamos integrar en un marco sólido (no sé la terminología aquí podría ser integral con el cuerpo rígido, lo que quiero decir es que la velocidad de los puntos del cuerpo rígido en Σ ′ son 0 , entonces coordenadas constantes). Al revisar mis notas, creo que la razón se debe al siguiente teorema:

Teorema: Considere un cuerpo rígido con tres puntos PAG 1 , PAG 2 , PAG 3 no alineado El mapa

ϕ : R 3 × S O ( 3 ) ⟶ R 9
tal que ϕ ( X O ′ , R ) = ( X O ′ + R X 1 ′ , X O ′ + R X 2 ′ , X O ′ + R X 3 ′ ) dónde X j ′ son las coordenadas de PAG j en el marco sólido, es un difeomorfismo en la imagen ϕ ( R 3 × S O ( 3 ) ) .

Dudas que me gustaría aclarar:

∙ Entiendo la prueba del teorema, que depende de tomar un marco sólido Σ ′ , lo que no entiendo es por qué es necesario. En general no puede ser posible determinar las coordenadas del cuerpo rígido en un marco fijo Σ , sin pasar por un marco sólido Σ ′ ? Si es así, ¿existe un contraejemplo manejable?

(Específicamente, no veo cómo los ángulos de Euler juegan un papel especial cuando se trata de marcos integrales, creo que los mismos ángulos de Euler podrían describir el paso de dos bases ortonormales a otra, sin que la segunda esté "fijada" al cuerpo, ¿verdad? equivocado ?)

∙ En general, si no tomo un marco sólido, ¿el espacio de configuración no podría ser una variedad? Entonces, ¿no debería tener sentido integrarse en eso? Es esto correcto ? De lo contrario, ¿por qué molestarse en definir las integrales que pasan por un marco integral?

Soy nuevo en Physics Stack Exchange, así que pido disculpas si cometí algún error con la política de las preguntas, cualquier ayuda sería apreciada.

Editar: la definición de marco "sólido" que estoy usando es: dado un marco Σ ′ = O ′ mi 1 ′ , mi 2 ′ , mi 3 ′ , esto se llama solidale al cuerpo rígido C son todos los puntos PAG j del cuerpo tiene 0 velocidad con respecto a Σ ′ , es decir, las coordenadas de los puntos PAG j son constantes en Σ ′ .

¡Bienvenidos a Física ! No estoy familiarizado con los términos "marco sólido" y "marco integral"; ¿Puedes definirlos? En particular, si aprendió estos términos en otro idioma, podría ser útil proporcionarlos en ese idioma, ya que las traducciones al inglés de términos técnicos no siempre son sencillas.
@MichaelSeifert Agregó las definiciones con una edición, ¿podría sugerirme el término correcto en inglés?
Eso es útil; Creo que lo que llamas "marco sólido" se llama más comúnmente "marco del cuerpo" en inglés. Véase la página 2 de estas notas . ¿Puede proporcionar una definición similar para "marco integral"?
@MichaelSeifert Usé marco integral como palabra equivalente de solidal porque pensé que el nombre podría ser evocador
@MichaelSeifert Citando sus notas "Para describir esto, especificamos posiciones en un marco espacial fijo". Esto es exactamente lo que estoy preguntando en mi pregunta que no entiendo

Respuestas (1)

  1. No necesita un marco corporal para integrar ninguna de las cantidades físicas (momento angular, momento de inercia, energía, etc.). ¿Contraejemplo manejable? Considere una rueda que gira alrededor de su eje. Apuesto a que puedes calcular su impulso tanto en marcos fijos como corporales. Los ángulos de Euler no necesitan estar unidos al cuerpo. A veces, cuando resuelve un movimiento complejo (por ejemplo, un cono rodando sobre una mesa), considerará un marco giratorio intermedio que no está asociado con ningún cuerpo y lo describirá con ángulos de Euler.

  2. El espacio de configuración no podría ser una variedad en general. Pero en el caso de un cuerpo rígido, lo es. es tu mencionado R 3 × S O ( 3 ) .

La razón por la que a veces es útil integrar en un marco de cuerpo es que divide el problema en partes como 1) calcular cantidades en un marco de cuerpo, que no depende del tiempo o la orientación de un cuerpo 2) usando leyes de transformación conocidas para devolverlo al sistema de laboratorio si es necesario. En otras palabras, utiliza la simetría del movimiento del cuerpo rígido.

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