¿Cómo puede ser significativa la paridad en un espacio afín?

Recientemente comencé un curso en QFT (dentro de una Maestría en Física) y, a pesar de la lectura (ciertamente limitada), no puedo entender la idea de la paridad.

Esto es lo que creo que entiendo: el espacio-tiempo de Minkowski de los QFT (habituales) es un espacio afín, en lugar de un vector. Los lagrangianos de QFT tienen las simetrías continuas del grupo de Lorentz (ortocrónico propio)$SO^+(1,3)$, por lo que no hay problema para expresar QFT usando vectores de posición (es decir, tenemos invariancia traslacional).

Sin embargo, la paridad generalmente se expresa como 'cambiar el signo de los componentes espaciales', reflejando a través de un origen. No solo es una característica de la teoría: los espinores quirales$\psi_\pm$se intercambian por paridad, etc. - pero tiene predicciones comprobables.

Lo que no entiendo es cómo y dónde se puede realizar una transformación de paridad sin referencia al origen (y, por lo tanto, trabajando en un espacio vectorial, a diferencia de la teoría, y aparentemente del Universo). ¿Hay algún operador generalizado actuando dentro del espacio de la teoría? Esta escribiendo$\psi(\vec{x}) \mapsto \psi(-\vec{x})$simplemente una conveniencia notacional que expresa la transformación en el espacio spinor de$\psi_{\pm} \mapsto \psi_{\mp}$(que podría representarse de otro modo sin referencia a un espacio vectorial)? ¿Se evapora este problema al considerar que el grupo de Lorentz actúa sobre el espacio tangente a un punto, y por tanto el espacio sobre el que actúa la transformación de paridad predicada sobre un punto específico?

Este es el tipo de ideas que soy incapaz de resolver. Tal vez estoy viendo una contradicción donde no la hay, y esto puede ignorarse de manera segura gracias a los isomorfismos entre los espacios afines/vectoriales relevantes o alguna característica similar, pero espero que alguien entienda mi confusión y pueda indicarme la dirección correcta. ¡Gracias!