Paridad de estados estacionarios de un oscilador armónico anisotrópico

Partamos del caso unidimensional. El operador de paridad $R$Se define como

$$(R\psi)(x) := \psi(-x)$$ para cada función de onda $\psi \in L^2(\mathbb R, dx)$.

$R$es autoadjunto y unitario y, directamente de su definición, obtenemos$RX=-XR$y$RP=-PR$dónde$X$y$P$son los operadores de posición y momento .

Desde el operador de creación $a^\dagger$y el operador de aniquilación $a$del oscilador armónico son combinaciones lineales de$X$y$P$, las mismas relaciones de conmutación son válidas para$a$y$a^\dagger$. En particular,

$$Ra^\dagger=-a^\dagger R\:.\tag{1}$$ Desde $R|0\rangle =|0\rangle$como surge por inspección directa en la representación de posición (la función de onda del estado fundamental es proporcional a $e^{-cx^2}$que es una función par), tenemos de (1) que $$R|n\rangle = R \frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0\rangle = (-1)^n \frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}R|0\rangle = (-1)^n |n\rangle\:.\tag{2}$$

En el caso considerado

$$|n_1 n_2 n_3\rangle = |n_1\rangle\otimes |n_2\rangle \otimes |n_3\rangle\tag{3}$$ y el operador de paridad $R$es el producto tensorial de los tres operadores de paridad correspondientes $$R = R_1 \otimes R_2 \otimes R_3$$ para que la paridad del estado $|n_1 n_2 n_3\rangle$es $(-1)^{n_1+ n_2 +n_3}$. De hecho, de (1), (2) y (3): $$R |n_1 n_2 n_3\rangle = (-1)^{n_1+ n_2 +n_3} |n_1 n_2 n_3\rangle\:.$$ Esta es la paridad del valor propio, a menos que haya una degeneración accidental : $$E_{n_1, n_2, n_3} = E_{m_1, m_2, m_3}\quad \mbox{for some $(n_1, n_2, n_3) \neq (m_1, m_2, m_3)$,}$$ en ese caso, el valor propio puede no haber definido la paridad. La degeneración accidental surge por permuta de $n_1$y $n_2$en el caso considerado, sin embargo, la paridad es invariante bajo esta operación.