Paradoja de la energía cinética aparente

Mi pregunta es: ¿cómo puede ser posible que suceda el mismo evento usando solo la mitad de la energía?

Bueno, estás descuidando el impulso, por lo que también estás descuidando la mitad de la energía en el primer escenario.

Supongamos que la colisión es perfectamente plástica. Con$E=\frac{1}{2}mv^2$y$p=mv$, entonces en caso de que el auto A comience inicialmente con$4E$y$2p$mientras que el automóvil B inicialmente comienza con$0E$y$0p$. Después de la colisión, dado que se conserva la cantidad de movimiento, los restos del automóvil A+B todavía tienen cantidad de movimiento.$2p$, entonces la velocidad de los restos es$v$y por lo tanto la energía cinética de los restos es$2E$lo que significa que la cantidad de energía perdida en la deformación plástica fue$2E$.

En el caso II, el automóvil A comienza inicialmente con$E$y$p$mientras que el auto B comienza con$E$y$-p$. Después de la colisión, dado que se conserva la cantidad de movimiento, los restos del automóvil A+B no tienen cantidad de movimiento, por lo que la velocidad de los restos es$0$y por lo tanto la energía cinética de los restos es$0$lo que significa que la cantidad de energía perdida en la deformación plástica fue nuevamente$2E$.

Entonces, en caso de que desperdicié la mitad de la gasolina en aumentar el KE final de los restos. Por el contrario, el caso II no desperdició gasolina en KE de los restos, por lo que pudo usar menos combustible.

Cada vez que vea una situación como esta, donde la energía parece no conservarse, siempre verifique su impulso también. Muy a menudo (no siempre, pero a menudo), encontrará que seguir el impulso lo ayudará a encontrar la energía que falta.

Quería agregar una perspectiva ligeramente diferente a las otras respuestas (correctas y buenas).

La energía cinética no es invariante ante un cambio de marco. Imagina una caja de masa$m$en reposo. Si impulso en un cuadro que se mueve a velocidad$V$, la energía cinética de la caja es ahora$\frac{1}{2} m V^2$en este nuevo marco, aunque la caja nunca experimentó ninguna aceleración. Sin embargo, los cambios en la energía cinética total son los mismos en diferentes marcos de inercia (ya que el cambio en la energía cinética se debe al trabajo realizado y el trabajo es invariante bajo impulsos, en la física newtoniana). Eso implica que, en cualquier marco fijo , la energía cinética de la caja es constante, suponiendo que no se realiza ningún trabajo sobre ella (que, con suerte, es lo que esperaría intuitivamente: no obtiene energía útil de forma gratuita).

Aplicando esto a su situación, vemos que el cambio en la energía cinética del estado previo al choque al estado posterior al choque siempre es$2E$, independientemente de si se encuentra en el marco de referencia del "caso I" o en el marco de referencia del "caso II", como lo muestra explícitamente Dale. Sin embargo, el valor real de la energía cinética en el estado posterior a la colisión es diferente ($2E$en el caso que enmarco,$0$en el marco del caso II). Esto se debe simplemente a que hay un impulso que relaciona los dos marcos. Siempre que solo nos preocupemos por analizar la colisión, podemos usar cualquier marco y no hay contradicciones con los principios generales.

Su problema, sin embargo, agrega un elemento adicional: especifica que los autos comenzaron en reposo uno con respecto al otro, y luego uno o ambos autos aceleraron desde este marco inicial. El marco inicial en el que ambos autos están simultáneamente en reposo selecciona un marco especial para analizar este problema. En el caso I, se gasta más energía total para acelerar el automóvil A desde el marco de reposo especial hasta su estado previo a la colisión, que la energía gastada para acelerar los automóviles A y B hasta sus estados previos a la colisión en el caso II. Esta diferencia se refleja en los estados posteriores a la colisión (como lo señalaron los otros respondedores): en el caso I, el naufragio tiene energía cinética adicional (en relación con el marco de reposo especial inicial), en comparación con el estado posterior a la colisión del caso II.

Podrías, si quisieras, analizar todo el proceso en un marco diferente. En este escenario, en caso de que comenzara con ambos autos moviéndose a una velocidad$V$, entonces el automóvil A aceleraría hacia el automóvil$B$, entonces ambos colisionarían y terminarían con una velocidad diferente a la$V$-- al final de todo el proceso, se usó algo de energía para cambiar la energía cinética total (y por lo tanto no entró en la colisión). En el caso II, comenzaría nuevamente con ambos autos moviéndose a una velocidad$V$, pero ahora ambos autos acelerarían uno hacia el otro y terminarían moviéndose a la misma velocidad$V$después de la colisión (por lo que no hubo un cambio neto en la energía cinética, y cualquier energía utilizada para acelerar los autos entró en la colisión). De esta manera de hacer el cálculo, al enfocarse en los cambios en la energía cinética total (que son invariantes bajo un cambio de marco), puede ver que obtendrá la misma respuesta en cualquier marco, pero su trabajo es más difícil si no No use el marco de descanso especial en el que ambos autos están inicialmente en reposo.

A lo largo de esta respuesta, he asumido que estamos discutiendo marcos de inercia. Sin embargo, ninguno de los autos está en un marco de inercia durante todo el proceso, porque hay algo de aceleración (tanto inicialmente como durante la colisión). También puede analizar el escenario utilizando el marco de referencia no inercial de uno de los automóviles. Pero, el análisis será más complicado, porque habrá cambios en la energía cinética total en el marco no inercial durante los momentos en que el marco está acelerando. Este es un cambio de energía "ficticio", debido al trabajo realizado por las fuerzas "ficticias" en el marco no inercial. Si considera correctamente estos cambios, obtendrá el mismo resultado que el análisis realizado en un marco inercial. Como se puede ver,

¿Cómo puede ser posible que suceda el mismo evento usando solo la mitad de la energía?

Sus cálculos sobre la energía son correctos, pero su suposición de que toda la energía cinética se convierte en daño (deformación del material) es incorrecta. Después de la colisión, los dos autos podrían continuar, lo que significa que solo una parte de la energía cinética (inicial) se pierde debido a los daños.

Las colisiones se entienden mejor a través del impulso. Durante una colisión hay fuerza de colisión entre los dos objetos. Dado que la fuerza de colisión es (generalmente) mucho mayor que otras fuerzas externas, y dado que obedece la ley de movimiento de la tercera Newton (acción-reacción), el momento antes y después de la colisión se conserva.

dónde$v$y$v'$son velocidades justo antes y después de la colisión, respectivamente.

En general, hay dos tipos de colisiones: (i) elásticas, en las que no se pierde energía, es decir, la energía cinética del sistema antes y después de la colisión es la misma; (ii) inelástica, en la que parte de la energía se pierde por calor, deformación del material, etc. Un caso especial de colisión inelástica es cuando las dos partículas se fusionan, por lo que se convierten en un cuerpo y tienen la misma velocidad después de la colisión; esto es llamada colisión inelástica perfecta .

Caso I

Con$m_a = m_b \equiv m$,$\vec{v}_a = 2v$, y$\vec{v}_b = 0$tenemos

A partir de esto, es obvio que queda algo de energía cinética en el sistema, es decir, no toda la energía se pierde en la colisión (o daño, como usted lo llama). En caso de que la colisión sea perfectamente inelástica , las velocidades finales son las mismas$\vec{v}_a' = \vec{v}_b' = v$y la energía cinética antes y después de la colisión es

La diferencia de energía cinética$\Delta K = -\frac{1}{2} K_1 = -m v^2$va a la deformación del material, calor, etc.

Caso II

Con$m_a = m_b \equiv m$,$\vec{v}_a = v$, y$\vec{v}_b = -v$tenemos

Supongamos nuevamente que la colisión es perfectamente inelástica . Las velocidades finales son entonces$\vec{v}_a' = \vec{v}_b' = 0$y la diferencia de energía cinética es$\Delta K = -m v^2$, al igual que en el Caso I .

Para el primer caso, a partir del marco inercial de la calle, (es decir, el mismo del coche en reposo antes de la colisión), el otro coche aumenta su energía cinética$\Delta E_k = 2mv^2$, y el trabajo correspondiente proviene de 4E de combustible. Después del choque, suponiendo que está suelto en el suelo, se acelera a una velocidad$v$debido a la conservación del impulso. Entonces, la energía cinética final es$mv^2$, y ambos también tienen deformación plástica.

Para el segundo caso, no es posible elegir uno de los autos como marco inercial, porque ambos aceleran. Usando el marco de la calle, usan 2E de combustible para obtener suficiente trabajo para tener una combinación$\Delta E_k = mv^2$, y todo se consume en la deformación plástica, porque la energía cinética final es cero.

Entonces la energía está balanceada para ambos casos.

Si el coche en reposo se fija a una pared por ejemplo en el primer caso, y la velocidad final es cero, el excedente de energía se desperdicia en vibraciones (o daños) en la pared.

Usted pregunta '¿cómo puede ser posible que suceda el mismo evento usando solo la mitad de la energía?' La respuesta es que usted ha descrito dos eventos diferentes.

En un escenario que describe, dos automóviles se mueven en direcciones opuestas con la misma velocidad en relación con el suelo; en el otro, un automóvil se mueve con el doble de esa velocidad en relación con el suelo, mientras que el segundo permanece estacionario. Son dos 'eventos' bastante diferentes.

Si considera el caso en el que ambos autos se mueven en relación con el suelo, su impulso combinado es cero. Entonces, cuando chocan, el centro de gravedad de los restos estará estacionario. En el otro caso, la cantidad de movimiento combinada es de 2 mv antes y después del choque, por lo que los restos seguirán moviéndose inmediatamente después del choque en la dirección del movimiento del automóvil que conducía a 2 v.

Otro punto clave a tener en cuenta es que KE depende del marco. Es posible que desee pensar en cómo aparecería el choque en el marco de referencia de un helicóptero que pasa volando a 10v, digamos.

Repitiendo lo que otros han dicho, pero, creo, dejándolo más claro:

Después del Caso I, el centro de masa de los escombros tiene una velocidad de$2v$. Pero el Caso II termina con el centro de masa teniendo una velocidad de$0$. Entonces, el Caso II, de hecho, no da como resultado el mismo evento que el Caso I. Para lograr que el Caso II tenga el mismo resultado final que el Caso I, tenemos que acelerar los escombros, que tienen masa$2m$, a la velocidad$2v$. Esto requiere energía de$2E$. Entonces, la cantidad total de energía requerida en cada caso es la misma.